En raisonnant par équivalence sur l'appartenance

Prouver l'égalité de deux ensembles par une chaîne d'équivalences entre appartenances.

L'objectif

Prouver l'égalité de deux ensembles par une chaîne d'équivalences entre appartenances.

Le principe

On a $A = B \Leftrightarrow \forall x,\ (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$ ; on traduit les deux appartenances puis on relie les propositions par $\Leftrightarrow$ .

La méthode

1
Je fixe $x$ quelconque et je pars de $x \in A$ .
2
Je traduis $x \in A$ par sa caractérisation logique (conjonction, disjonction, quantificateur, etc.).
3
J'utilise les règles de logique (distributivité, négation, De Morgan) pour transformer la proposition en la caractérisation de $x \in B$ , en justifiant chaque équivalence.
4
J'en déduis $\forall x,\ x \in A \Leftrightarrow x \in B$ , donc $A = B$ .

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Exercice d'exemple

Soient $E$ un ensemble et $A, B, C \subset E$ . Montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Étape 1 —

Je fixe

x

quelconque et je pars de

x \in A

Soit $x \in E$ quelconque ; on étudie $x \in A \cap (B \cup C)$ .

Étape 2 —

Je traduis

x \in A

par sa caractérisation logique (conjonction, disjonction, quantificateur, etc.).

$x \in A \cap (B \cup C) \Leftrightarrow (x \in A) \wedge (x \in B \vee x \in C)$ .

Étape 3 —

J'utilise les règles de logique (distributivité, négation, De Morgan) pour transformer la proposition en la caractérisation de

x \in B

, en justifiant chaque équivalence.

Par distributivité de $\wedge$ sur $\vee$ : $\Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge x \in C) \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Étape 4 —

J'en déduis

\forall x,\ x \in A \Leftrightarrow x \in B

, donc

A = B

On a $\forall x,\ x \in A \cap (B \cup C) \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , donc les deux ensembles sont égaux.

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Application guidée

Soient $A, B \subset E$ . Montrer que $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ .

Application autonome 1

Soient $A, B \subset E$ . Montrer que $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ .

Application autonome 2

Soient $E$ un ensemble et $A, B\subset E$ . Montrer par équivalence que $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ .

Application autonome 3

Soient $A, B\subset E$ . Montrer que $(A\cup B)\setminus B = A\setminus B$ .

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