En tronquant le résultat à l'ordre voulu (composition hors programme)

Calculer le DL en $0$ d'une somme ou d'un produit de deux fonctions admettant un DL à l'ordre $n$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le DL à l'ordre $3$ en $0$ de $e^x+\ln(1+x)$ .

L'objectif

Calculer le DL en $0$ d'une somme ou d'un produit de deux fonctions admettant un DL à l'ordre $n$ .

Le principe

Si $f$ et $g$ admettent des DL à l'ordre $n$ en $0$ , alors $f+g$ et $fg$ en admettent un aussi : on additionne ou on multiplie les parties polynomiales puis on tronque à l'ordre $n$ en absorbant tout terme de degré $>n$ dans le $o(x^n)$ (la composition de DL est hors programme).

La méthode

1
J'écris les DL de $f$ et $g$ en $0$ au même ordre $n$ : $f(x)=P(x)+o(x^n)$ , $g(x)=Q(x)+o(x^n)$ .
2
Pour la somme : je calcule $P+Q$ et j'ajoute un $o(x^n)$ . Pour le produit : je développe $P(x)Q(x)$ en ne conservant que les monômes de degré $\leq n$ .
3
Je regroupe les termes, je laisse le reste $o(x^n)$ et j'écris le DL final à l'ordre $n$ .
Comment écrire le DL en $0$ d'une fonction usuelle (exp, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$, cos, sin) ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer le DL à l'ordre $3$ en $0$ de $e^x+\ln(1+x)$ .

Étape 1 —

J'écris les DL de

f

g

0

au même ordre

n

f(x)=P(x)+o(x^n)

g(x)=Q(x)+o(x^n)

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$ et $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$ .

Étape 2 —

Pour la somme : je calcule

P+Q

et j'ajoute un

o(x^n)

. Pour le produit : je développe

P(x)Q(x)

en ne conservant que les monômes de degré

\leq n

J'additionne les parties polynomiales : $1+2x+0\cdot x^2+\left(\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{3}\right)x^3=1+2x+\tfrac{x^3}{2}$ .

Étape 3 —

Je regroupe les termes, je laisse le reste

o(x^n)

et j'écris le DL final à l'ordre

n

D'où $e^x+\ln(1+x)=1+2x+\dfrac{x^3}{2}+o(x^3)$ .

$e^x+\ln(1+x)=1+2x+\dfrac{x^3}{2}+o(x^3)$ .

Application guidée

Calculer le DL à l'ordre $2$ en $0$ de $(1+x)e^x$ .

Application autonome 1

DL à l'ordre $3$ en $0$ de $\cos x\cdot \sin x$ .

Application autonome 2

DL à l'ordre $2$ en $0$ de $\sqrt{1+x}\cdot \ln(1+x)$ .

Application autonome 3

Calculer le DL à l'ordre $3$ en $0$ de $\mathrm{e}^x\cos(x)$ .

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