En calculant la limite du taux d'accroissement $(f(x)-f(a))/(x-a)$ en a

L'objectif

Prouver la dérivabilité de $f$ en un point $a$ et calculer $f'(a)$ par la définition.

Le principe

Par définition, $f$ est dérivable en $a$ ssi le taux d'accroissement $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie $\ell$ en $a$ ; on a alors $f'(a)=\ell$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est définie sur un voisinage de $a$ et je pose le taux d'accroissement $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ pour $x\ne a$ .
2
Je transforme cette expression (factorisation, conjugué, identités remarquables, DL usuels) pour lever l'indétermination $0/0$ .
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
3
Je calcule $\lim_{x\to a}\tau_a(x)$ ; si elle existe et est finie, je conclus que $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a)$ égal à cette limite.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $a=3$ et calculer $f'(3)$ .

Application guidée 2

Étudier la dérivabilité en $0$ de $f(x)=\sqrt{x}$ .

Application autonome 1

Soit $f(x)=|x|$ . Étudier la dérivabilité en $0$ .

Application autonome 2

Étudier la dérivabilité en $a=1$ de $f(x)=x^3$ et calculer $f'(1)$ .

Application autonome 3

Étudier la dérivabilité en $a=0$ de $f(x)=\sin(x)$ et calculer $f'(0)$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En calculant la limite du taux d'accroissement (f(x)−f(a))/(x−a)(f(x)-f(a))/(x-a)(f(x)−f(a))/(x−a) en a

Évalue la méthode

En calculant la limite du taux d'accroissement $(f(x)-f(a))/(x-a)$ en a