En étudiant le signe de f' et en utilisant un bloc variation

Décrire la monotonie complète d'une fonction dérivable et repérer ses extrema.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dresser le tableau de variations de $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Décrire la monotonie complète d'une fonction dérivable et repérer ses extrema.

Le principe

Sur un intervalle $I$ , si $f'\geq 0$ (resp. $\leq 0$ ) avec un nombre fini de zéros, alors $f$ est strictement croissante (resp. décroissante) sur $I$ .

La méthode

1
Je détermine le domaine $\mathcal{D}_f$ et je calcule $f'(x)$ sur $\mathcal{D}_f$ .
2
J'étudie le signe de $f'(x)$ (factorisation, résolution d'une inéquation) et je localise ses zéros.
3
Je calcule les valeurs et les limites aux bornes (y compris aux extrema) pour remplir le tableau de variations.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dresser le tableau de variations de $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je détermine le domaine

\mathcal{D}_f

et je calcule

f'(x)

sur

\mathcal{D}_f

$\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ et $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de

f'(x)

(factorisation, résolution d'une inéquation) et je localise ses zéros.

$f'(x)\geq 0$ pour $x\leq -1$ ou $x\geq 1$ ; $f'(x)\leq 0$ pour $-1\leq x\leq 1$ .

Étape 3 —

Je calcule les valeurs et les limites aux bornes (y compris aux extrema) pour remplir le tableau de variations.

$f(-1)=2$ , $f(1)=-2$ , $\lim_{-\infty}f=-\infty$ , $\lim_{+\infty}f=+\infty$ .

$f$ croît sur $]-\infty,-1]$ et $[1,+\infty[$ , décroît sur $[-1,1]$ , max local $2$ en $-1$ , min local $-2$ en $1$ .

Application guidée

Étudier les variations de $g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$ sur $]0,+\infty[$ .

Application autonome 1

Dresser le tableau de variations de $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Étudier les variations de $h(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ .

Application autonome 3

Dresser le tableau de variations de $f(x)=x-2\sqrt{x}$ sur $[0,+\infty[$ .

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