Comment calculer la dérivée d'une fonction (produit, quotient, composée) ? | MetMat

Comment calculer la dérivée d'une fonction (produit, quotient, composée) ?

En appliquant les règles (produit, quotient, composée)

Obtenir l'expression de $f'(x)$ à partir d'opérations sur des fonctions dérivables usuelles.

L'objectif

Obtenir l'expression de $f'(x)$ à partir d'opérations sur des fonctions dérivables usuelles.

Le principe

Si $u,v$ sont dérivables, alors $(\lambda u+\mu v)'=\lambda u'+\mu v'$ , $(uv)'=u'v+uv'$ , $(u/v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ (si $v\ne 0$ ) et $(v\circ u)'=u'\cdot(v'\circ u)$ .

La méthode

1
Je détermine le domaine de dérivabilité en identifiant la structure de $f$ (somme, produit, quotient, composée) et en vérifiant les hypothèses sur chaque brique.
Comment montrer qu'une fonction est dérivable en un point ?Voir
2
Je décompose $f$ en fonctions usuelles dérivables et j'applique la règle adaptée à chaque opération.
3
Je simplifie l'expression obtenue (mise au même dénominateur, factorisation) pour préparer l'étude du signe de $f'$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dériver $f(x)=(2x+1)e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je détermine le domaine de dérivabilité en identifiant la structure de

f

(somme, produit, quotient, composée) et en vérifiant les hypothèses sur chaque brique.

$f$ est un produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je décompose

f

en fonctions usuelles dérivables et j'applique la règle adaptée à chaque opération.

Avec $u(x)=2x+1$ et $v(x)=e^x$ : $u'=2$ , $v'=e^x$ , donc $f'(x)=2e^x+(2x+1)e^x$ .

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue (mise au même dénominateur, factorisation) pour préparer l'étude du signe de

f'

Je factorise : $f'(x)=(2x+3)e^x$ .

$f'(x)=(2x+3)e^x$ .

Application guidée

Dériver $g(x)=\frac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Dériver $h(x)=\ln(1+x^2)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Dériver $f(x)=x^2\cos(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Dériver $g(x)=\sqrt{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

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