MetMat
← Retour aux méthodes

Comment calculer la dérivée d'une bijection réciproque ?

En appliquant (f−1)′(y)=1/f′(f−1(y))(f^{-1})'(y)=1/f'(f^{-1}(y))

L'objectif

Calculer la dérivée de f−1f^{-1} en un point yy sans disposer d'une expression explicite de f−1f^{-1}.

Le principe

Si f:I→Jf:I\to J est une bijection dérivable avec f′(x)≠0f'(x)\ne 0 en x=f−1(y)x=f^{-1}(y), alors f−1f^{-1} est dérivable en yy et (f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie les hypothèses : ff est une bijection de II sur JJ, dérivable sur II, et f′(x0)≠0f'(x_0)\ne 0 où x0=f−1(y0)x_0=f^{-1}(y_0).
  2. 2
    Je détermine x0=f−1(y0)x_0=f^{-1}(y_0) en résolvant l'équation f(x0)=y0f(x_0)=y_0.
  3. 3
    Je calcule f′(x0)f'(x_0) et j'applique la formule (f−1)′(y0)=1f′(x0)(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.