En vérifiant f continue en a, $\mathcal{C}^1$ sur $I\setminus\{a\}$, et $\lim f'(x)=\ell$

Soit $f(x)=x^2\ln(x)$ pour $x>0$ et $f(0)=0$. Montrer que $f\in\mathcal{C}^1([0,+\infty[)$ et calculer $f'(0)$.

Soit $g$ définie par $g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}$ pour $x\ne 0$ et $g(0)=1$. Montrer que $g\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$.

Soit $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ pour $x\neq 0$ et $f(0)=1$. Montrer que $f\in\mathcal{C}^1(]-1,+\infty[)$.

Soit $f(x)=x\sqrt{x}$ pour $x\geq 0$. Montrer que $f\in\mathcal{C}^1([0,+\infty[)$ et calculer $f'(0)$.

Soit $g(x)=\dfrac{1-\cos(x)}{x}$ pour $x\neq 0$ et $g(0)=0$. Montrer que $g\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$.