Comment appliquer l'égalité ou l'inégalité des accroissements finis ?

En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ avec $k=\sup|f'|$

L'objectif

Obtenir une majoration de $|f(b)-f(a)|$ en fonction de $|b-a|$ via un contrôle global de $|f'|$ .

Le principe

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est dérivable (ou $\mathcal{C}^1$ ) sur l'intervalle $I$ contenant $a$ et $b$ .
2
Je cherche $k\geq 0$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x\in I$ (en étudiant les variations de $|f'|$ ou en majorant brutalement).
3
J'applique l'IAF : $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ , puis j'exploite cette majoration selon le contexte (convergence, lipschitzianité, récurrence).

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

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En majorant ∣f(b)−f(a)∣≤k∣b−a∣|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|∣f(b)−f(a)∣≤k∣b−a∣ avec k=sup⁡∣f′∣k=\sup|f'|k=sup∣f′∣