En appliquant $P(X\geq a)\leq E(X)/a$ pour X positive admettant espérance, et $a>0$

L'objectif

Majorer $P(X\geq a)$ en fonction de l'espérance de $X$ .

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire discrète positive admettant une espérance, alors pour tout $a>0$ : $P(X\geq a)\leq \dfrac{E(X)}{a}$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs positives (ou presque sûrement positive) et $X$ admet une espérance $E(X)$ finie.
Comment montrer qu'une VAR admet une espérance ?Voir
2
Je fixe le seuil $a>0$ correspondant à la probabilité $P(X\geq a)$ que je souhaite majorer, et je calcule ou j'exprime $E(X)$ .
3
J'applique l'inégalité de Markov : $P(X\geq a)\leq \dfrac{E(X)}{a}$ , puis j'interprète la majoration obtenue.

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Application guidée 1

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que $E(X)=3$ . Majorer $P(X\geq 12)$ .

Application guidée 2

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{P}(2)$ . Majorer $P(X\geq 10)$ à l'aide de l'inégalité de Markov.

Application autonome 1

Soit $X$ une v.a. discrète positive telle que $E(X^2)=9$ . Majorer $P(X^2\geq 36)$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{B}(100,0.1)$ (loi binomiale). Majorer $P(X\geq 50)$ par Markov.

Application autonome 3

Soit $X$ une v.a. positive telle que $E(X^3)=8$ . Majorer $P(X\geq 4)$ en appliquant l'inégalité de Markov à une puissance de $X$ convenable.

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En appliquant P(X≥a)≤E(X)/aP(X\geq a)\leq E(X)/aP(X≥a)≤E(X)/a pour X positive admettant espérance, et a>0a>0a>0

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En appliquant $P(X\geq a)\leq E(X)/a$ pour X positive admettant espérance, et $a>0$