Comment utiliser l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ? | MetMat

Comment utiliser l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ?

En utilisant $\mathcal{B}(n,\lambda/n) \to \mathcal{P}(\lambda)$ ponctuellement (quand n grand et λ modéré)

L'objectif

Approcher $P(X_n=k)$ pour $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,\lambda/n)$ par $P(X=k)$ avec $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ .

Le principe

Si $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de variables aléatoires suivant $\mathcal{B}(n,\lambda/n)$ avec $\lambda>0$ fixé, alors pour tout $k\in\mathbb{N}$ : $\lim_{n\to+\infty} P(X_n=k)=P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ où $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ .

La méthode

1
Je vérifie le cadre : une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p_n)$ avec $n$ grand et $p_n$ petit, telle que le produit $\lambda=np_n$ soit modéré (typiquement $n\geq 30$ , $p_n\leq 0{,}1$ , $np_n\leq 10$ ).
Comment reconnaître et utiliser une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ?Voir
2
Je pose $\lambda=np_n$ (ou, dans le cadre théorique du BO, $p_n=\lambda/n$ ) et j'introduis une variable $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ destinée à approcher $X_n$ .
3
Pour chaque $k\in\mathbb{N}$ fixé, j'approche $P(X_n=k)\approx P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ .
4
Je conclus en donnant la valeur numérique de la probabilité cherchée et en précisant qu'il s'agit d'une approximation valable pour $n$ grand et $\lambda$ modéré.

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Application guidée 1

Sur une chaîne de production, chaque pièce est défectueuse avec probabilité $p=0{,}01$ , indépendamment des autres. Sur un lot de $n=200$ pièces, estimer la probabilité d'avoir exactement $3$ pièces défectueuses.

Application guidée 2

Un standard téléphonique reçoit en moyenne $\lambda=4$ appels par heure, modélisés par $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,\lambda/n)$ avec $n=1200$ créneaux. Estimer la probabilité de recevoir exactement $0$ appel en une heure.

Application autonome 1

Soit $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}(n,\lambda/n)$ avec $\lambda=3$ . Montrer que $\lim_{n\to+\infty} P(X_n=k)=e^{-3}\dfrac{3^k}{k!}$ pour tout $k\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 2

Lors d'une campagne de vaccination, la probabilité d'effet indésirable grave est $p=2\cdot 10^{-4}$ . Sur $n=10\,000$ personnes vaccinées, estimer la probabilité d'observer au plus $1$ effet indésirable grave.

Application autonome 3

Un livre de $300$ pages contient, en moyenne, une erreur typographique toutes les $150$ pages. Sous hypothèse d'indépendance et de rareté, estimer la probabilité qu'une page choisie au hasard contienne exactement $2$ erreurs.

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En utilisant B(n,λ/n)→P(λ)\mathcal{B}(n,\lambda/n) \to \mathcal{P}(\lambda)B(n,λ/n)→P(λ) ponctuellement (quand n grand et λ modéré)

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En utilisant $\mathcal{B}(n,\lambda/n) \to \mathcal{P}(\lambda)$ ponctuellement (quand n grand et λ modéré)