En calculant E(g(X, Y)) = ∑ g(x, y) P([X = x] ∩ [Y = y]) sous convergence absolue

Calculer directement $E(g(X, Y))$ à partir de la loi conjointe de $(X, Y)$ , sans passer par la loi de $g(X, Y)$ .

L'objectif

Calculer directement $E(g(X, Y))$ à partir de la loi conjointe de $(X, Y)$ , sans passer par la loi de $g(X, Y)$ .

Le principe

Sous réserve de CONVERGENCE ABSOLUE : $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} g(x, y) P([X = x] \cap [Y = y])$ (résultat admis).

La méthode

1
Je pose $g$ et j'identifie la somme à étudier : $\sum_{(x, y)} g(x, y) P([X = x] \cap [Y = y])$ sur le support de $(X, Y)$ .
2
Je vérifie la CONVERGENCE ABSOLUE : $\sum_{(x, y)} |g(x, y)| P([X = x] \cap [Y = y]) < +\infty$ (automatique si les supports sont finis).
3
Je calcule la somme, en factorisant éventuellement si $X \perp\!\!\!\perp Y$ : $\sum_{x, y} g(x, y) P(X = x) P(Y = y)$ peut se séparer si $g(x, y) = u(x) v(y)$ .
4
Je conclus : $E(g(X, Y)) = $ valeur obtenue.
5
Je vérifie la cohérence avec les propriétés connues (linéarité $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ , factorisation si indépendance pour $g(x, y) = xy$ ).

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Exercice d'exemple

Soient $X, Y$ indépendantes uniformes sur $\{1, 2, 3\}$ . Calculer $E(\min(X, Y))$ via le théorème de transfert.

Étape 1 —

Je pose

g

et j'identifie la somme à étudier :

\sum_{(x, y)} g(x, y) P([X = x] \cap [Y = y])

sur le support de

(X, Y)

$g(x, y) = \min(x, y)$ ; support fini $\{1, 2, 3\}^2$ .

Étape 2 —

Je vérifie la CONVERGENCE ABSOLUE :

\sum_{(x, y)} |g(x, y)| P([X = x] \cap [Y = y]) < +\infty

(automatique si les supports sont finis).

Support fini $\Rightarrow$ convergence absolue automatique.

Étape 3 —

Je calcule la somme, en factorisant éventuellement si

X \perp\!\!\!\perp Y

\sum_{x, y} g(x, y) P(X = x) P(Y = y)

peut se séparer si

g(x, y) = u(x) v(y)

$E(\min(X, Y)) = \frac{1}{9} \sum_{i, j = 1}^{3} \min(i, j) = \frac{1}{9} (1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 3) = \frac{14}{9}$ .

Étape 4 —

Je conclus : $E(g(X, Y)) = $ valeur obtenue.

$E(\min(X, Y)) = \frac{14}{9}$ .

Étape 5 —

Je vérifie la cohérence avec les propriétés connues (linéarité

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

, factorisation si indépendance pour

g(x, y) = xy

Cohérent avec la loi obtenue précédemment : $1 \cdot \frac{5}{9} + 2 \cdot \frac{3}{9} + 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{14}{9}$ .

$E(\min(X, Y)) = \frac{14}{9}$ .

Application guidée

$(X, Y)$ de loi $P([X = i] \cap [Y = j]) = \frac{1}{3j}$ pour $1 \le i \le j \le 3$ . Calculer $E(X + Y)$ via le transfert.

Application autonome 1

Soient $X, Y$ indépendantes suivant $\mathcal{U}(\{1, 2, 3\})$ . Calculer $E(XY)$ par le transfert et comparer à $E(X) E(Y)$ .

Application autonome 2

Soient $X, Y$ indépendantes de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ (même paramètre). Calculer $E(X^2 + Y^2)$ .

Application autonome 3

Soit $(X,Y)$ de loi $P([X=i]\cap[Y=j])=\dfrac{2}{n(n+1)}$ pour $1\leq i\leq j\leq n$ . Calculer $E(Y-X)$ .

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