En calculant P(Z = z) = ∑ P([X = x] ∩ [Y = y]) sur les couples tels que g(x, y) = z

Déterminer la loi de $Z = g(X, Y)$ dans les cas usuels $X + Y$ , $\min(X, Y)$ , $\max(X, Y)$ .

L'objectif

Déterminer la loi de $Z = g(X, Y)$ dans les cas usuels $X + Y$ , $\min(X, Y)$ , $\max(X, Y)$ .

Le principe

Pour tout $z \in Z(\Omega)$ : $P(Z = z) = \sum_{(x, y) \,:\, g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$ , par disjonction des événements $\{[X = x] \cap [Y = y]\}$ .

La méthode

1
Je détermine $Z(\Omega) = g(X(\Omega) \times Y(\Omega))$ .
2
Pour chaque $z \in Z(\Omega)$ , j'explicite l'ensemble $A_z = \{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega) \mid g(x, y) = z\}$ .
3
Je calcule $P(Z = z) = \sum_{(x, y) \in A_z} P([X = x] \cap [Y = y])$ , en utilisant la loi conjointe (et la factorisation par indépendance si $X \perp\!\!\!\perp Y$ ).
Comment déterminer la loi conjointe d'un couple (X, Y) ?Voir
4
Je vérifie $\sum_{z \in Z(\Omega)} P(Z = z) = 1$ et je reconnais éventuellement une loi usuelle.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X, Y$ indépendantes uniformes sur $\{1, 2, 3\}$ . Déterminer la loi de $Z = X + Y$ .

Étape 1 —

Je détermine

Z(\Omega) = g(X(\Omega) \times Y(\Omega))

$Z(\Omega) = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque

z \in Z(\Omega)

, j'explicite l'ensemble

A_z = \{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega) \mid g(x, y) = z\}

$A_2 = \{(1,1)\}$ , $A_3 = \{(1,2),(2,1)\}$ , $A_4 = \{(1,3),(2,2),(3,1)\}$ , $A_5 = \{(2,3),(3,2)\}$ , $A_6 = \{(3,3)\}$ .

Étape 3 —

Je calcule

P(Z = z) = \sum_{(x, y) \in A_z} P([X = x] \cap [Y = y])

, en utilisant la loi conjointe (et la factorisation par indépendance si

X \perp\!\!\!\perp Y

Par indépendance $P([X = i] \cap [Y = j]) = \frac{1}{9}$ ; donc $P(Z = 2) = P(Z = 6) = \frac{1}{9}$ , $P(Z = 3) = P(Z = 5) = \frac{2}{9}$ , $P(Z = 4) = \frac{3}{9}$ .

Étape 4 —

Je vérifie

\sum_{z \in Z(\Omega)} P(Z = z) = 1

et je reconnais éventuellement une loi usuelle.

Somme : $\frac{1 + 2 + 3 + 2 + 1}{9} = 1$ .

$P(Z = k) \in \{\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9}\}$ pour $k \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Application guidée

Soient $X, Y$ indépendantes uniformes sur $\{1, 2, 3\}$ . Déterminer la loi de $M = \min(X, Y)$ .

Application autonome 1

Soient $X, Y$ indépendantes uniformes sur $\{1, 2, 3\}$ . Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ .

Application autonome 2

Soit $(X, Y)$ de loi $P([X = i] \cap [Y = j]) = \frac{1}{3j}$ pour $1 \le i \le j \le 3$ . Déterminer la loi de $S = X + Y$ .

Application autonome 3

Soient $X,Y$ indépendantes de loi $\mathcal{B}(n,p)$ de même paramètre $p\in ]0,1[$ . Déterminer la loi de $Z=X+Y$ .

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