En calculant P([X = x] ∩ [Y = y]) pour tous les couples (x, y)

Obtenir la loi complète du couple $(X, Y)$ en explicitant $P([X = x] \cap [Y = y])$ pour chaque $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ .

L'objectif

Obtenir la loi complète du couple $(X, Y)$ en explicitant $P([X = x] \cap [Y = y])$ pour chaque $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ .

Le principe

La loi d'un couple de variables aléatoires discrètes est entièrement caractérisée par la famille des $P([X = x] \cap [Y = y])$ pour $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ .

La méthode

1
Je détermine précisément les ensembles $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ des valeurs prises.
2
Pour chaque couple $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ , j'exprime l'événement $[X = x] \cap [Y = y]$ en revenant à l'expérience aléatoire.
3
Je calcule $P([X = x] \cap [Y = y])$ par dénombrement, par conditionnement via $P([X = x] \cap [Y = y]) = P(X = x) P_{[X = x]}(Y = y)$ , ou par indépendance si applicable.
4
Je vérifie que $\sum_{(x, y)} P([X = x] \cap [Y = y]) = 1$ pour contrôler la cohérence.
5
Je présente la loi sous forme de liste de couples ou, si les supports sont finis, d'un tableau à double entrée.

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Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés discernables. Soit $X$ le résultat du premier dé et $Y = X + D$ où $D$ est le résultat du second. Déterminer la loi de $(X, Y)$ .

Étape 1 —

Je détermine précisément les ensembles

X(\Omega)

Y(\Omega)

des valeurs prises.

J'ai $X(\Omega) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ et $Y(\Omega) = \{2, 3, \dots, 12\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque couple

(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)

, j'exprime l'événement

[X = x] \cap [Y = y]

en revenant à l'expérience aléatoire.

Pour $(x, y)$ avec $x \in \{1, \dots, 6\}$ et $y - x \in \{1, \dots, 6\}$ , l'événement $[X = x] \cap [Y = y]$ correspond à : premier dé $= x$ et second dé $= y - x$ .

Étape 3 —

Je calcule

P([X = x] \cap [Y = y])

par dénombrement, par conditionnement via

P([X = x] \cap [Y = y]) = P(X = x) P_{[X = x]}(Y = y)

, ou par indépendance si applicable.

Par indépendance des deux dés, $P([X = x] \cap [Y = y]) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ si $1 \le y - x \le 6$ , et $0$ sinon.

Étape 4 —

Je vérifie que

\sum_{(x, y)} P([X = x] \cap [Y = y]) = 1

pour contrôler la cohérence.

Il y a exactement $36$ couples $(x, y)$ non nuls, chacun de probabilité $\frac{1}{36}$ : la somme vaut bien $1$ .

Étape 5 —

Je présente la loi sous forme de liste de couples ou, si les supports sont finis, d'un tableau à double entrée.

Loi : $P([X = x] \cap [Y = y]) = \frac{1}{36}$ pour $x \in \{1, \dots, 6\}$ et $y - x \in \{1, \dots, 6\}$ , $0$ sinon.

$P([X = x] \cap [Y = y]) = \frac{1}{36} \mathbf{1}_{1 \le y - x \le 6,\; 1 \le x \le 6}$ .

Application guidée

Une urne contient $3$ boules blanches et $2$ boules noires. On tire $2$ boules sans remise. Soit $X$ le nombre de blanches au $1$ er tirage et $Y$ le nombre de blanches au $2$ nd. Déterminer la loi de $(X, Y)$ .

Application autonome 1

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\{1, 2, 3\})$ . Conditionnellement à $[X = k]$ , la variable $Y$ suit la loi uniforme sur $\{1, \dots, k\}$ . Déterminer la loi de $(X, Y)$ .

Application autonome 2

On lance une pièce équilibrée $3$ fois. Soit $X$ le nombre de Pile et $Y$ le nombre de Pile parmi les deux premiers lancers. Déterminer la loi de $(X, Y)$ .

Application autonome 3

On lance une pièce équilibrée 2 fois. $X$ = nombre de Piles, $Y$ = résultat du 1er lancer ( $1$ si Pile, $0$ sinon). Déterminer la loi de $(X,Y)$ .

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