En vérifiant P([X = x] ∩ [Y = y]) = P(X = x) P(Y = y) pour tout (x, y)

Établir que $X$ et $Y$ sont indépendantes via la caractérisation $P([X = x] \cap [Y = y]) = P(X = x) P(Y = y)$ .

L'objectif

Établir que $X$ et $Y$ sont indépendantes via la caractérisation $P([X = x] \cap [Y = y]) = P(X = x) P(Y = y)$ .

Le principe

Deux VAR discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si $\forall (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega),\; P([X = x] \cap [Y = y]) = P(X = x) P(Y = y)$ .

La méthode

1
Je détermine les supports $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ et je calcule les lois marginales $P(X = x)$ et $P(Y = y)$ .
Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?Voir
2
Je calcule $P([X = x] \cap [Y = y])$ pour chaque couple $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ .
3
Je compare $P([X = x] \cap [Y = y])$ et $P(X = x) P(Y = y)$ : si l'égalité est vraie pour TOUT $(x, y)$ , je conclus à l'indépendance ; sinon, un seul contre-exemple suffit à l'écarter.
Comment montrer qu'une proposition est fausse (contre-exemple) ?Voir
4
Si l'indépendance est établie, je peux alors exploiter $E(XY) = E(X) E(Y)$ ou les stabilités usuelles sans reprouver.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X, Y)$ de loi $P(0,0) = P(1,1) = \frac{1}{4}$ , $P(0,1) = P(1,0) = \frac{1}{4}$ . Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Étape 1 —

Je détermine les supports

X(\Omega)

Y(\Omega)

et je calcule les lois marginales

P(X = x)

P(Y = y)

Supports $\{0, 1\}^2$ . Marginales : $P(X = 0) = \frac{1}{2}$ , $P(X = 1) = \frac{1}{2}$ , idem pour $Y$ .

Étape 2 —

Je calcule

P([X = x] \cap [Y = y])

pour chaque couple

(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)

Loi conjointe : chaque $P(x, y) = \frac{1}{4}$ .

Étape 3 —

Je compare

P([X = x] \cap [Y = y])

P(X = x) P(Y = y)

: si l'égalité est vraie pour TOUT

(x, y)

, je conclus à l'indépendance ; sinon, un seul contre-exemple suffit à l'écarter.

$P(X = x) P(Y = y) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P([X = x] \cap [Y = y])$ pour tout $(x, y)$ .

Étape 4 —

Si l'indépendance est établie, je peux alors exploiter

E(XY) = E(X) E(Y)

ou les stabilités usuelles sans reprouver.

L'égalité est vérifiée partout : $X$ et $Y$ sont indépendantes.

$X$ et $Y$ indépendantes.

Application guidée

Soit $(X, Y)$ de loi $P(1,1) = P(2,2) = \frac{1}{2}$ , autres nulles. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Application autonome 1

On lance deux dés équilibrés distincts. $X$ = résultat du $1$ er dé, $Y$ = résultat du $2$ nd. Montrer l'indépendance de $X$ et $Y$ .

Application autonome 2

Soit $(X, Y)$ de loi $P([X = i] \cap [Y = j]) = \frac{e^{-2}}{i! \, j!}$ sur $\mathbb{N}^2$ . Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes de loi $\mathcal{P}(1)$ .

Application autonome 3

Soit $(X,Y)$ de loi $P(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{mn}$ pour $i\in\{1,\ldots,m\}$ , $j\in\{1,\ldots,n\}$ . Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

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