Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ? | MetMat

Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?

En résolvant $f'(x)=0$ sur l'intervalle ouvert

Lister les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle ouvert $I$ .

L'objectif

Lister les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle ouvert $I$ .

Le principe

Si $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $x_0\in I$ , alors $f'(x_0)=0$ : la résolution de $f'(x)=0$ fournit la liste complète des candidats.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle ouvert $I$ et je calcule $f'(x)$ .
2
Je résous l'équation $f'(x)=0$ sur $I$ et je collecte toutes les solutions : ce sont les points critiques.
3
Je précise que tout extremum local de $f$ sur $I$ est atteint en l'un de ces points, mais qu'un point critique n'est pas nécessairement un extremum.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Trouver les points critiques de $f\colon x\mapsto x^4-2x^2$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est

\mathcal{C}^1

sur l'intervalle ouvert

I

et je calcule

f'(x)

$f$ est polynomiale, donc $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$ .

Étape 2 —

Je résous l'équation

f'(x)=0

sur

I

et je collecte toutes les solutions : ce sont les points critiques.

$f'(x)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=\pm 1$ ; les points critiques sont $-1, 0, 1$ .

Étape 3 —

Je précise que tout extremum local de

f

sur

I

est atteint en l'un de ces points, mais qu'un point critique n'est pas nécessairement un extremum.

Tout extremum local éventuel sur $\mathbb{R}$ est atteint en $-1$ , $0$ ou $1$ (à examiner par la condition d'ordre 2).

Points critiques : $-1$ , $0$ , $1$ .

Application guidée

Déterminer les points critiques de $g\colon x\mapsto \ln(1+x^2)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Points critiques de $h\colon x\mapsto x-\ln(x)$ sur $]0,+\infty[$ .

Application autonome 2

Trouver les points critiques de $f\colon x\mapsto x\mathrm{e}^x$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Déterminer les points critiques de $f\colon x\mapsto \sin(x)+\cos(x)$ sur $]-\pi,\pi[$ .

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En résolvant f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 sur l'intervalle ouvert

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant $f'(x)=0$ sur l'intervalle ouvert