Comment déterminer un point d'inflexion ? | MetMat

Comment déterminer un point d'inflexion ?

En trouvant $x_0$ où $f''$ change de signe

Déterminer les points d'inflexion d'une fonction $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle.

L'objectif

Déterminer les points d'inflexion d'une fonction $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle.

Le principe

Un point $x_0$ est un point d'inflexion de $f$ (de classe $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle $I$ ) si la convexité de $f$ change en $x_0$ ; en pratique, c'est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur l'intervalle $I$ et je calcule $f''(x)$ .
2
Je résous $f''(x)=0$ et j'établis le tableau de signes de $f''$ sur $I$ .
3
Pour chaque racine $x_0$ de $f''$ , je vérifie que $f''$ change effectivement de signe en $x_0$ : c'est un point d'inflexion ; sinon ce n'en est pas un.
4
Je conclus en donnant la liste des points d'inflexion et j'écris la tangente en ce point pour l'allure du graphe.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer les points d'inflexion de $f\colon x\mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est

\mathcal{C}^2

sur l'intervalle

I

et je calcule

f''(x)

$f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=3x^2$ , $f''(x)=6x$ .

Étape 2 —

Je résous

f''(x)=0

et j'établis le tableau de signes de

f''

sur

I

$f''(x)=0 \iff x=0$ .

Étape 3 —

Pour chaque racine

x_0

f''

, je vérifie que

f''

change effectivement de signe en

x_0

: c'est un point d'inflexion ; sinon ce n'en est pas un.

$f''$ change de signe en $0$ (passe de négatif à positif) : $0$ est un point d'inflexion.

Étape 4 —

Je conclus en donnant la liste des points d'inflexion et j'écris la tangente en ce point pour l'allure du graphe.

Tangente en $0$ : $y=0$ ; la courbe traverse sa tangente.

Unique point d'inflexion : $x_0=0$ , de tangente horizontale $y=0$ .

Application guidée

Déterminer les points d'inflexion de $g\colon x\mapsto x^4$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Trouver les points d'inflexion de $h\colon x\mapsto \mathrm{e}^{-x^2/2}$ sur $\mathbb{R}$ (densité gaussienne, aux constantes près).

Application autonome 2

Déterminer les points d'inflexion de $f\colon x\mapsto x^3-3x^2+2$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Déterminer les points d'inflexion de $g\colon x\mapsto\mathrm{e}^x-x$ sur $\mathbb{R}$ .

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En trouvant x0x_0x0​ où f′′f''f′′ change de signe

Pour comprendre, fais des exercices !

En trouvant $x_0$ où $f''$ change de signe