Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction continue sur un segment ? | MetMat

Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction continue sur un segment ?

En appliquant le théorème : toute fonction continue sur un segment atteint ses bornes

Déterminer le maximum et le minimum globaux d'une fonction continue sur un segment $[a,b]$ .

L'objectif

Déterminer le maximum et le minimum globaux d'une fonction continue sur un segment $[a,b]$ .

Le principe

Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ y atteint ses bornes ; si elle est $\mathcal{C}^1$ sur $]a,b[$ , les extrema sont atteints soit en un point critique intérieur, soit en $a$ , soit en $b$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ et je justifie qu'elle y atteint ses bornes par le théorème des bornes atteintes.
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je cherche les points critiques de $f$ sur l'intervalle ouvert $]a,b[$ en résolvant $f'(x)=0$ .
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?Voir
3
Je calcule les valeurs de $f$ aux points critiques intérieurs ainsi qu'aux bornes $a$ et $b$ .
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?Voir
4
Je compare ces valeurs pour identifier $\max_{[a,b]} f$ et $\min_{[a,b]} f$ , en précisant en quels points ils sont atteints.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer les extrema de $f\colon x\mapsto x^3-3x$ sur $[-2,2]$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur le segment

[a,b]

et je justifie qu'elle y atteint ses bornes par le théorème des bornes atteintes.

$f$ est polynomiale donc continue sur $[-2,2]$ ; elle y atteint ses bornes.

Étape 2 —

Je cherche les points critiques de

f

sur l'intervalle ouvert

]a,b[

en résolvant

f'(x)=0

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ s'annule en $x=-1$ et $x=1$ , tous deux dans $]-2,2[$ .

Étape 3 —

Je calcule les valeurs de

f

aux points critiques intérieurs ainsi qu'aux bornes

a

b

$f(-2)=-2$ , $f(-1)=2$ , $f(1)=-2$ , $f(2)=2$ .

Étape 4 —

Je compare ces valeurs pour identifier

\max_{[a,b]} f

\min_{[a,b]} f

, en précisant en quels points ils sont atteints.

Le maximum vaut $2$ , atteint en $x=-1$ et $x=2$ ; le minimum vaut $-2$ , atteint en $x=-2$ et $x=1$ .

$\max_{[-2,2]} f = 2$ (en $-1$ et $2$ ), $\min_{[-2,2]} f = -2$ (en $-2$ et $1$ ).

Application guidée

Trouver les extrema de $g\colon x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ sur $[0,3]$ .

Application autonome 1

Soit $h\colon x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ sur $[-1,1]$ . Déterminer ses extrema.

Application autonome 2

Déterminer les extrema de $f\colon x\mapsto x^2-4x+3$ sur $[0,3]$ .

Application autonome 3

Déterminer les extrema de $f\colon x\mapsto \cos(x)+\sin(x)$ sur $[0,\pi]$ .

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