Comment tracer le graphe d'une fonction (variations, convexité, asymptotes) ? | MetMat

Comment tracer le graphe d'une fonction (variations, convexité, asymptotes) ?

En rassemblant variations, convexité, limites et asymptotes éventuelles

Produire un tracé fidèle de la courbe $\mathcal{C}_f$ en synthétisant tous les outils d'analyse du chapitre.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier et tracer la courbe de $f\colon x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Produire un tracé fidèle de la courbe $\mathcal{C}_f$ en synthétisant tous les outils d'analyse du chapitre.

Le principe

L'étude complète d'une fonction $f$ comprend : domaine de définition, limites aux bornes, asymptotes, dérivées première et seconde, tableau de variations, convexité/concavité, points particuliers (critiques, d'inflexion) ; le graphe en est la synthèse géométrique.

La méthode

1
Je détermine le domaine de définition $D_f$ et j'étudie les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ .
2
Je cherche les asymptotes : horizontales si $\lim f=\ell$ , verticales si $f\to \pm\infty$ en un point fini, obliques $y=ax+b$ si $\lim (f(x)-(ax+b))=0$ .
3
Je calcule $f'$ , j'étudie son signe et je dresse le tableau de variations.
Comment dresser le tableau de variations d'une fonction ?Voir
4
Je calcule $f''$ , j'étudie sa convexité et je repère les éventuels points d'inflexion.
5
Je rassemble ces informations pour tracer le graphe en plaçant les points particuliers (extrema, inflexions), les tangentes remarquables et les asymptotes.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier et tracer la courbe de $f\colon x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je détermine le domaine de définition

D_f

et j'étudie les limites de

f

aux bornes de

D_f

$D_f=\mathbb{R}$ ; $\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ (par produit) et $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0^+$ (croissances comparées).

Étape 2 —

Je cherche les asymptotes : horizontales si

\lim f=\ell

, verticales si

f\to \pm\infty

en un point fini, obliques

y=ax+b

\lim (f(x)-(ax+b))=0

Asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$ ; pas d'autre asymptote.

Étape 3 —

Je calcule

f'

, j'étudie son signe et je dresse le tableau de variations.

$f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ , $f'(x)=0 \iff x=1$ ; $f$ croît sur $]-\infty,1]$ , décroît sur $[1,+\infty[$ ; maximum $f(1)=\mathrm{e}^{-1}$ .

Étape 4 —

Je calcule

f''

, j'étudie sa convexité et je repère les éventuels points d'inflexion.

$f''(x)=(x-2)\mathrm{e}^{-x}$ , $f''(x)=0\iff x=2$ ; $f$ concave sur $]-\infty,2]$ , convexe sur $[2,+\infty[$ ; point d'inflexion en $x=2$ avec $f(2)=2\mathrm{e}^{-2}$ .

Étape 5 —

Je rassemble ces informations pour tracer le graphe en plaçant les points particuliers (extrema, inflexions), les tangentes remarquables et les asymptotes.

Synthèse : maximum en $(1,\mathrm{e}^{-1})$ , inflexion en $(2, 2\mathrm{e}^{-2})$ , asymptote $y=0$ en $+\infty$ , $f\to -\infty$ en $-\infty$ .

Maximum global en $(1,\mathrm{e}^{-1})$ , inflexion en $(2, 2\mathrm{e}^{-2})$ , asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$ .

Application guidée

Étudier et tracer la courbe de $g\colon x\mapsto \dfrac{x^2+1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ .

Application autonome 1

Étudier et tracer la courbe de $h\colon x\mapsto \ln(1+x^2)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Étudier et tracer la courbe de $f\colon x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier et tracer la courbe de $f\colon x\mapsto x-\ln(1+x^2)$ sur $\mathbb{R}$ .

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