Comment montrer qu'une fonction est convexe ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est convexe ?

En vérifiant la définition $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$

Démontrer qu'une fonction $f\colon I\to\mathbb{R}$ est convexe en revenant à la définition par inégalité barycentrique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer, par la définition, que $f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Démontrer qu'une fonction $f\colon I\to\mathbb{R}$ est convexe en revenant à la définition par inégalité barycentrique.

Le principe

$f$ est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si pour tous $x,y\in I$ et tout $t\in[0,1]$ , $f(tx+(1-t)y) \leq t\,f(x)+(1-t)\,f(y)$ .

La méthode

1
Je fixe $x,y\in I$ quelconques et $t\in[0,1]$ , et je pose $z=tx+(1-t)y$ qui appartient à $I$ (car $I$ est un intervalle).
2
Je forme la différence $\Delta(t,x,y)=t\,f(x)+(1-t)\,f(y)-f(z)$ et je cherche à montrer $\Delta\geq 0$ .
3
Je simplifie (factorisation, identité remarquable, inégalité classique) et je prouve que $\Delta\geq 0$ pour tous $x,y,t$ .
4
Je conclus que $f$ est convexe sur $I$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer, par la définition, que $f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je fixe

x,y\in I

quelconques et

t\in[0,1]

, et je pose

z=tx+(1-t)y

qui appartient à

I

(car

I

est un intervalle).

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ et $t\in[0,1]$ ; je pose $z=tx+(1-t)y\in\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je forme la différence

\Delta(t,x,y)=t\,f(x)+(1-t)\,f(y)-f(z)

et je cherche à montrer

\Delta\geq 0

Je calcule $\Delta = tx^2+(1-t)y^2-(tx+(1-t)y)^2$ .

Étape 3 —

Je simplifie (factorisation, identité remarquable, inégalité classique) et je prouve que

\Delta\geq 0

pour tous

x,y,t

En développant, $\Delta = t(1-t)x^2+t(1-t)y^2-2t(1-t)xy = t(1-t)(x-y)^2 \geq 0$ (car $t,1-t\in[0,1]$ ).

Étape 4 —

Je conclus que

f

est convexe sur

I

L'inégalité $f(z)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$ est vérifiée : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

$f\colon x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que $f\colon x\mapsto |x|$ est convexe sur $\mathbb{R}$ par la définition.

Application autonome 1

Montrer qu'une fonction affine $\varphi\colon x\mapsto ax+b$ est convexe (et concave) sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Montrer, par la définition, que $f\colon x\mapsto \mathrm{e}^{ax}$ est convexe sur $\mathbb{R}$ pour $a\in\mathbb{R}$ (on pourra admettre la convexité de $\mathrm{e}^y$ ).

Application autonome 3

Montrer par la définition que la somme de deux fonctions convexes sur un intervalle $I$ est convexe.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant la définition f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant la définition $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$