Extremum et fonctions convexes

Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction continue sur un segment ?

Utiliser le théorème des bornes atteintes et comparer les valeurs aux points critiques intérieurs et aux bornes du segment.

Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?

Résoudre l'équation $f'(x)=0$ sur l'intervalle ouvert de définition pour identifier les candidats à un extremum local.

Comment appliquer la condition suffisante d'ordre 2 pour un extremum local ?

Utiliser le signe de $f''(x_0)$ en un point critique $x_0$ d'une fonction $\mathcal{C}^2$ pour conclure à un minimum ou maximum local.

Comment montrer qu'une fonction est convexe ?

Vérifier soit la définition de la convexité, soit le signe positif de $f''$ lorsque $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$.

Comment caractériser la convexité par la monotonie de $f'$ ou la position par rapport aux tangentes ?

Démontrer la convexité d'une fonction $\mathcal{C}^1$ via la croissance de $f'$ ou en prouvant que la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Comment appliquer une inégalité de convexité ?

Utiliser l'inégalité $f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)$ avec $\sum t_i = 1$ pour obtenir une majoration classique.

Comment déterminer un point d'inflexion ?

Localiser les points où la convexité change en étudiant le signe de $f''$.

Comment tracer le graphe d'une fonction (variations, convexité, asymptotes) ?

Mener une étude complète de fonction pour dessiner son allure : domaine, limites, variations, convexité, asymptotes éventuelles.