En montrant $u_n/v_n \to 1$

Établir $u_n \sim v_n$ pour deux suites réelles.

L'objectif

Établir $u_n \sim v_n$ pour deux suites réelles.

Le principe

Si $v_n$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, $u_n \sim v_n \iff \dfrac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1$ .

La méthode

1
On vérifie que $v_n$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang afin de former le quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ .
2
On calcule $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$ en factorisant par le terme dominant ou via des équivalents déjà connus.
3
Si la limite vaut $1$ , on conclut $u_n \sim v_n$ ; sinon, les suites ne sont pas équivalentes.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $n^2 + n \sim n^2$ .

Étape 1 —

On vérifie que

v_n

ne s'annule pas à partir d'un certain rang afin de former le quotient

\dfrac{u_n}{v_n}

Pour $n \geq 1$ , $n^2 > 0$ , donc $\dfrac{n^2 + n}{n^2}$ est défini.

Étape 2 —

On calcule

\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{u_n}{v_n}

en factorisant par le terme dominant ou via des équivalents déjà connus.

$\dfrac{n^2 + n}{n^2} = 1 + \dfrac{1}{n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1$ .

Étape 3 —

Si la limite vaut

1

, on conclut

u_n \sim v_n

; sinon, les suites ne sont pas équivalentes.

Je conclus $n^2 + n \sim n^2$ .

$n^2 + n \sim n^2$ .

Application guidée

Montrer que $3n^2 + 5n + 1 \sim 3n^2$ .

Application autonome 1

Montrer que $\sqrt{n^2 + 1} \sim n$ .

Application autonome 2

Montrer que $\ln(1+1/n)\sim \dfrac{1}{n}$ .

Application autonome 3

Montrer que $(n+1)^2\sim n^2$ .

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