En remplaçant la suite/fonction par un équivalent plus simple

Calculer une limite d'expression en substituant chaque facteur par son équivalent.

L'objectif

Calculer une limite d'expression en substituant chaque facteur par son équivalent.

Le principe

Si $u_n \sim w_n$ et $w_n$ admet une limite $\ell$ , alors $u_n \to \ell$ . On peut donc remplacer une expression par un équivalent à condition de respecter les règles de manipulation (produit, quotient, puissance — jamais somme ni composition).

La méthode

1
On repère la forme indéterminée ( $\infty - \infty$ , $\infty/\infty$ , $0/0$ , etc.) et le(s) terme(s) qui la provoque(nt).
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
2
On remplace chaque facteur (numérateur, dénominateur, puissance) par un équivalent plus simple, en s'assurant que l'opération est licite (produit, quotient, puissance).
3
On calcule la limite de l'expression simplifiée et on conclut.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1}$ .

Étape 1 —

On repère la forme indéterminée (

\infty - \infty

\infty/\infty

0/0

, etc.) et le(s) terme(s) qui la provoque(nt).

Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ .

Étape 2 —

On remplace chaque facteur (numérateur, dénominateur, puissance) par un équivalent plus simple, en s'assurant que l'opération est licite (produit, quotient, puissance).

Au numérateur $n^2 + 3n \sim n^2$ et au dénominateur $2n^2 - 1 \sim 2n^2$ , donc $\dfrac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1} \sim \dfrac{n^2}{2n^2} = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

On calcule la limite de l'expression simplifiée et on conclut.

Donc la limite vaut $\dfrac{1}{2}$ .

$\dfrac{1}{2}$ .

Application guidée

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{\sqrt{n^2 + n}}{n + \ln n}$ .

Application autonome 1

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{(2n+1)^3}{n^3 + 5}$ .

Application autonome 2

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^3-2n+1}{3n^3+n^2}$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(n^2+n)}{\ln(n)}$ .

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