Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?

En appliquant $\lim_{x\to 0} x^a|\ln x|^b=0$ , $\lim_{x\to+\infty} x^a e^{-bx}=0$ , etc.

L'objectif

Lever une indétermination faisant intervenir $\ln$ , $\exp$ et des puissances via les croissances comparées.

Le principe

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x^a |\ln x|^b = 0$ , $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{(\ln x)^b}{x^a} = 0$ , $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^a e^{-bx} = 0$ , $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} |x|^a e^{bx} = 0$ . Version suites (avec $n \in \mathbb{N}^*$ ) : $\dfrac{(\ln n)^b}{n^a} \to 0$ et $\dfrac{n^a}{e^{bn}} \to 0$ .

La méthode

1
Je repère la forme indéterminée et les fonctions en compétition : puissance $x^a$ vs logarithme $(\ln x)^b$ , ou puissance vs exponentielle.
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
2
Je réécris l'expression de façon à faire apparaître une des formes standards ( $x^a|\ln x|^b$ , $x^a e^{-bx}$ , etc.), en factorisant par le terme dominant si nécessaire.
3
J'applique la croissance comparée adaptée et je conclus sur la limite.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En appliquant lim⁡x→0xa∣ln⁡x∣b=0\lim_{x\to 0} x^a|\ln x|^b=0limx→0​xa∣lnx∣b=0, lim⁡x→+∞xae−bx=0\lim_{x\to+\infty} x^a e^{-bx}=0limx→+∞​xae−bx=0, etc.

Exemple corrigé

En appliquant $\lim_{x\to 0} x^a|\ln x|^b=0$ , $\lim_{x\to+\infty} x^a e^{-bx}=0$ , etc.