Comment montrer qu'un endomorphisme est un projecteur ? | MetMat

Comment montrer qu'un endomorphisme est un projecteur ?

En vérifiant que $p^2 = p$

Prouver qu'un endomorphisme $p$ de $E$ est un projecteur.

L'objectif

Prouver qu'un endomorphisme $p$ de $E$ est un projecteur.

Le principe

Un endomorphisme $p \in \mathcal{L}(E)$ est un projecteur si et seulement si $p \circ p = p$ ; dans ce cas $E = \ker(p) \oplus \mathrm{Im}(p)$ et $p$ est la projection sur $\mathrm{Im}(p)$ parallèlement à $\ker(p)$ .

La méthode

1
On vérifie que $p$ est bien un endomorphisme de $E$ (linéaire de $E$ dans $E$ ).
2
On calcule $p \circ p$ : soit pour un vecteur quelconque $x \in E$ , soit matriciellement via $\mathrm{Mat}_B(p)^2$ .
3
On compare le résultat à $p$ et on conclut que $p \circ p = p$ , donc $p$ est un projecteur.
4
Si demandé, on précise les éléments caractéristiques : $\mathrm{Im}(p)$ (espace sur lequel on projette) et $\ker(p)$ (direction de la projection).

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Exercice d'exemple

Soit $p \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $p(x, y) = (x, 0)$ . Montrer que $p$ est un projecteur et préciser ses éléments caractéristiques.

Étape 1 —

On vérifie que

p

est bien un endomorphisme de

E

(linéaire de

E

dans

E

$p$ est clairement linéaire et va de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ , c'est un endomorphisme.

Étape 2 —

On calcule

p \circ p

: soit pour un vecteur quelconque

x \in E

, soit matriciellement via

\mathrm{Mat}_B(p)^2

Pour $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ : $p(p(x, y)) = p(x, 0) = (x, 0)$ .

Étape 3 —

On compare le résultat à

p

et on conclut que

p \circ p = p

, donc

p

est un projecteur.

Donc $p \circ p = p$ , $p$ est un projecteur.

Étape 4 —

Si demandé, on précise les éléments caractéristiques :

\mathrm{Im}(p)

(espace sur lequel on projette) et

\ker(p)

(direction de la projection).

On a $\mathrm{Im}(p) = \{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\} = \mathrm{Vect}(e_1)$ et $\ker(p) = \{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\} = \mathrm{Vect}(e_2)$ : $p$ est la projection sur l'axe des abscisses parallèlement à l'axe des ordonnées.

$p$ est la projection sur $\mathrm{Vect}(e_1)$ parallèlement à $\mathrm{Vect}(e_2)$ .

Application guidée

Soit $A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $p$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ canoniquement associé à $A$ . Montrer que $p$ est un projecteur.

Application autonome 1

Soit $f \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $f(P) = P(0) + P'(0) X$ . Montrer que $f$ est un projecteur.

Application autonome 2

Soit $p\colon\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ , $p(x,y,z)=(x,y,0)$ . Montrer que $p$ est un projecteur et préciser ses éléments.

Application autonome 3

Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ . L'endomorphisme canoniquement associé est-il un projecteur ?

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En vérifiant que p2=pp^2 = pp2=p

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $p^2 = p$