Comment utiliser un polynôme annulateur pour inverser une matrice ou calculer $M^k$ ? | MetMat

Comment utiliser un polynôme annulateur pour inverser une matrice ou calculer $M^k$ ?

En exhibant un polynôme $P$ tel que $P(u) = 0$ (ou $P(M) = 0$ ) puis en factorisant pour isoler $u^{-1}$ ou $u^k$

Calculer $M^{-1}$ ou $M^k$ en s'appuyant sur une relation polynomiale satisfaite par $M$ .

L'objectif

Calculer $M^{-1}$ ou $M^k$ en s'appuyant sur une relation polynomiale satisfaite par $M$ .

Le principe

Si $P \in \mathbb{R}[X]$ vérifie $P(M) = 0$ avec $P(0) \neq 0$ , on isole la matrice identité pour en déduire $M^{-1}$ ; pour $M^k$ , on effectue la division euclidienne de $X^k$ par $P$ : $X^k = P(X) Q(X) + R(X)$ entraîne $M^k = R(M)$ avec $\deg R < \deg P$ .

La méthode

1
On calcule $M^2$ (et éventuellement $M^3$ ) pour conjecturer une relation linéaire entre $I, M, M^2, \ldots$ , c'est-à-dire un polynôme annulateur $P$ .
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On vérifie la relation obtenue : $P(M) = 0$ .
3
Pour $M^{-1}$ : si $P(0) \neq 0$ , on isole $I$ dans $P(M) = 0$ sous la forme $M \cdot Q(M) = I$ , ce qui donne $M^{-1} = Q(M)$ ; pour $M^k$ , on effectue la division euclidienne $X^k = P(X) Q(X) + R(X)$ et on obtient $M^k = R(M)$ .
Comment effectuer une division euclidienne ?Voir
4
On conclut en écrivant explicitement $M^{-1}$ ou $M^k$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $M^2 - 3M + 2 I_2 = 0$ , puis en déduire $M^{-1}$ .

Étape 1 —

On calcule

M^2

(et éventuellement

M^3

) pour conjecturer une relation linéaire entre

I, M, M^2, \ldots

, c'est-à-dire un polynôme annulateur

P

On calcule $M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ et on conjecture une relation du type $M^2 = a M + b I_2$ : $3 = a \cdot 1$ donne $a = 3$ et $1 = 3 - b$ donne $b = 2$ ... en ajustant les signes on teste $M^2 - 3M + 2 I_2$ .

Étape 2 —

On vérifie la relation obtenue :

P(M) = 0

On vérifie : $M^2 - 3M + 2 I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 3 \\\\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 0$ .

Étape 3 —

Pour

M^{-1}

: si

P(0) \neq 0

, on isole

I

dans

P(M) = 0

sous la forme

M \cdot Q(M) = I

, ce qui donne

M^{-1} = Q(M)

; pour

M^k

, on effectue la division euclidienne

X^k = P(X) Q(X) + R(X)

et on obtient

M^k = R(M)

On a $M^2 - 3M = -2 I_2$ , soit $M(3 I_2 - M) = 2 I_2$ , d'où $M \cdot \frac{1}{2}(3 I_2 - M) = I_2$ et $M^{-1} = \frac{1}{2}(3 I_2 - M)$ .

Étape 4 —

On conclut en écrivant explicitement

M^{-1}

M^k

On calcule : $M^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ .

$M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Soit $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Vérifier que $J^2 = 3 J$ , puis calculer $J^k$ pour $k \geq 1$ .

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A^2 - 4A + 3 I_2 = 0$ et en déduire $A^k$ pour $k \in \mathbb{N}$ .

Application autonome 2

Soit $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Vérifier que $N^3 = 0$ et en déduire $(I_3 - N)^{-1}$ .

Application autonome 3

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2+A-6I_n=0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ .

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En exhibant un polynôme PPP tel que P(u)=0P(u) = 0P(u)=0 (ou P(M)=0P(M) = 0P(M)=0) puis en factorisant pour isoler u−1u^{-1}u−1 ou uku^kuk

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant un polynôme $P$ tel que $P(u) = 0$ (ou $P(M) = 0$ ) puis en factorisant pour isoler $u^{-1}$ ou $u^k$