Comment déterminer la matrice d'une application linéaire dans des bases ? | MetMat

Comment déterminer la matrice d'une application linéaire dans des bases ?

En écrivant les images des vecteurs de la base de départ dans la base d'arrivée et en les rangeant en colonnes

Écrire la matrice $\mathrm{Mat}_{B_F,B_E}(f)$ d'une application linéaire $f \colon E \to F$ dans des bases données.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x + y,\ x - 3y)$ . Déterminer la matrice de $f$ dans la base canonique $B = (e_1, e_2)$ .

L'objectif

Écrire la matrice $\mathrm{Mat}_{B_F,B_E}(f)$ d'une application linéaire $f \colon E \to F$ dans des bases données.

Le principe

Si $B_E = (e_1, \ldots, e_p)$ est une base de $E$ et $B_F$ une base de $F$ , la $j$ -ième colonne de $\mathrm{Mat}_{B_F,B_E}(f)$ est formée des coordonnées de $f(e_j)$ dans $B_F$ .

La méthode

1
On précise les bases $B_E = (e_1, \ldots, e_p)$ de l'espace de départ $E$ et $B_F = (f_1, \ldots, f_n)$ de l'espace d'arrivée $F$ .
2
Pour chaque $j \in \{1, \ldots, p\}$ , on calcule $f(e_j)$ à partir de la définition de $f$ .
3
On décompose $f(e_j)$ dans $B_F$ sous la forme $f(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{i,j} f_i$ et on note la colonne $(a_{1,j}, \ldots, a_{n,j})^\top$ .
4
On juxtapose les $p$ colonnes obtenues pour former $\mathrm{Mat}_{B_F,B_E}(f) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x + y,\ x - 3y)$ . Déterminer la matrice de $f$ dans la base canonique $B = (e_1, e_2)$ .

Étape 1 —

On précise les bases

B_E = (e_1, \ldots, e_p)

de l'espace de départ

E

B_F = (f_1, \ldots, f_n)

de l'espace d'arrivée

F

On choisit $B_E = B_F = B = (e_1, e_2)$ avec $e_1 = (1, 0)$ et $e_2 = (0, 1)$ .

Étape 2 —

Pour chaque

j \in \{1, \ldots, p\}

, on calcule

f(e_j)

à partir de la définition de

f

On calcule $f(e_1) = f(1, 0) = (2, 1)$ et $f(e_2) = f(0, 1) = (1, -3)$ .

Étape 3 —

On décompose

f(e_j)

dans

B_F

sous la forme

f(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{i,j} f_i

et on note la colonne

(a_{1,j}, \ldots, a_{n,j})^\top

On lit les coordonnées : $f(e_1) = 2 e_1 + 1 \cdot e_2$ donne la colonne $\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \end{pmatrix}$ et $f(e_2) = 1 \cdot e_1 - 3 e_2$ donne $\begin{pmatrix} 1 \\\\ -3 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

On juxtapose les

p

colonnes obtenues pour former

\mathrm{Mat}_{B_F,B_E}(f) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})

On juxtapose : $\mathrm{Mat}_B(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ .

$\mathrm{Mat}_B(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Soit $f \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(P) = (P(0), P(1), P(-1))$ . Déterminer la matrice de $f$ dans les bases canoniques $B_E = (1, X, X^2)$ et $B_F = (e_1, e_2, e_3)$ .

Application autonome 1

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par $u(x, y, z) = (x + y,\ y + z,\ x + z)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_B(u)$ dans la base canonique $B = (e_1, e_2, e_3)$ .

Application autonome 2

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $\varphi(P) = P + (1 - X) P'$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_B(\varphi)$ dans la base $B = (1, X, X^2)$ .

Application autonome 3

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z)=(x-z,\ y+2z)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{B_F,B_E}(f)$ dans les bases canoniques.

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