En écrivant les images des vecteurs de la base de départ dans la base d'arrivée et en les rangeant en colonnes

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x + y,\ x - 3y)$. Déterminer la matrice de $f$ dans la base canonique $B = (e_1, e_2)$.

Soit $f \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(P) = (P(0), P(1), P(-1))$. Déterminer la matrice de $f$ dans les bases canoniques $B_E = (1, X, X^2)$ et $B_F = (e_1, e_2, e_3)$.

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par $u(x, y, z) = (x + y,\ y + z,\ x + z)$. Déterminer $\mathrm{Mat}_B(u)$ dans la base canonique $B = (e_1, e_2, e_3)$.

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $\varphi(P) = P + (1 - X) P'$. Déterminer $\mathrm{Mat}_B(\varphi)$ dans la base $B = (1, X, X^2)$.

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$, $f(x,y,z)=(x-z,\ y+2z)$. Déterminer $\mathrm{Mat}_{B_F,B_E}(f)$ dans les bases canoniques.