Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ? | MetMat

Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En montrant $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ (surjectivité)

Prouver qu'une application linéaire $f\colon E\to F$ , avec $F$ de dimension finie, est surjective.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z)$ . Montrer que $f$ est surjective.

L'objectif

Prouver qu'une application linéaire $f\colon E\to F$ , avec $F$ de dimension finie, est surjective.

Le principe

Si $F$ est de dimension finie, $f$ est surjective si et seulement si $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ (car $\mathrm{Im}\,f\subset F$ et égalité des dimensions équivaut à égalité des sous-espaces).

La méthode

1
On note $p=\dim F$ et on détermine une famille génératrice de $\mathrm{Im}\,f$ (typiquement les images d'une base de $E$ ).
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?Voir
2
On en extrait une base et on en déduit $\mathrm{rg}(f)$ (éventuellement via la formule du rang).
Comment calculer le rang et appliquer la formule du rang ?Voir
3
On compare $\mathrm{rg}(f)$ et $p=\dim F$ .
4
Si $\mathrm{rg}(f)=p$ , on conclut $\mathrm{Im}\,f=F$ , donc $f$ est surjective ; sinon $f$ ne l'est pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z)$ . Montrer que $f$ est surjective.

Étape 1 —

On note

p=\dim F

et on détermine une famille génératrice de

\mathrm{Im}\,f

(typiquement les images d'une base de

E

$\dim F=2$ . $\mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_2),f(e_3))=\mathrm{Vect}((1,0),(1,1),(0,1))$ .

Étape 2 —

On en extrait une base et on en déduit

\mathrm{rg}(f)

(éventuellement via la formule du rang).

Les vecteurs $(1,0)$ et $(0,1)$ forment déjà une base de $\mathbb{R}^2$ , donc $\mathrm{rg}(f)=2$ .

Étape 3 —

On compare

\mathrm{rg}(f)

p=\dim F

$\mathrm{rg}(f)=2=\dim F$ .

Étape 4 —

\mathrm{rg}(f)=p

, on conclut

\mathrm{Im}\,f=F

, donc

f

est surjective ; sinon

f

ne l'est pas.

Donc $\mathrm{Im}\,f=\mathbb{R}^2$ et $f$ est surjective.

$f$ est surjective.

Application guidée

Soit $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , $f(x,y)=(x,y,x+y)$ . Étudier la surjectivité.

Application autonome 1

Soit $\varphi\colon\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}^3$ , $\varphi(P)=(P(0),P(1),P(2))$ . Montrer que $\varphi$ est surjective.

Application autonome 2

Soit $f\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z)=(x-y, y+z)$ . Étudier la surjectivité de $f$ .

Application autonome 3

Soit $\varphi\colon \mathbb{R}_2[X]\to \mathbb{R}^2$ , $\varphi(P)=(P(0)+P(1), P'(0))$ . Montrer que $\varphi$ est surjective.

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En montrant rg(f)=dim⁡F\mathrm{rg}(f)=\dim Frg(f)=dimF (surjectivité)

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En montrant $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ (surjectivité)