Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ? | MetMat

Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?

En utilisant : en dimension finie avec $\dim E=\dim F$ , injective $\Leftrightarrow$ surjective $\Leftrightarrow$ bijective

Prouver la bijectivité d'une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie en ne vérifiant qu'une seule des propriétés (injective OU surjective).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ , $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z,\ x+z)$ . Montrer que $f$ est bijective.

L'objectif

Prouver la bijectivité d'une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie en ne vérifiant qu'une seule des propriétés (injective OU surjective).

Le principe

Si $E$ et $F$ sont de dimension finie avec $\dim E=\dim F$ , alors pour $f\in\mathcal{L}(E,F)$ : $f$ injective $\Leftrightarrow$ $f$ surjective $\Leftrightarrow$ $f$ bijective (conséquence directe de la formule du rang).

La méthode

1
On vérifie les hypothèses : $E$ et $F$ sont de dimension finie et $\dim E=\dim F$ (en particulier pour un endomorphisme).
2
On choisit la propriété la plus simple à prouver : soit injectivité ( $\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}$ ), soit surjectivité ( $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ ).
3
On démontre cette propriété en résolvant $f(x)=0_E$ (pour l'injectivité) ou en exhibant une famille génératrice de $\mathrm{Im}\,f$ .
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?Voir
4
On conclut directement que $f$ est bijective, c'est-à-dire un isomorphisme de $E$ sur $F$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ , $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z,\ x+z)$ . Montrer que $f$ est bijective.

Étape 1 —

On vérifie les hypothèses :

E

F

sont de dimension finie et

\dim E=\dim F

(en particulier pour un endomorphisme).

$f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ : $\dim E=\dim F=3$ , l'équivalence injective $\Leftrightarrow$ bijective s'applique.

Étape 2 —

On choisit la propriété la plus simple à prouver : soit injectivité (

\mathrm{Ker}\,f=\{0_E\}

), soit surjectivité (

\mathrm{rg}(f)=\dim F

Je choisis de prouver l'injectivité en résolvant $f(x,y,z)=(0,0,0)$ .

Étape 3 —

On démontre cette propriété en résolvant

f(x)=0_E

(pour l'injectivité) ou en exhibant une famille génératrice de

\mathrm{Im}\,f

Le système $\begin{cases}x+y=0\\ y+z=0\\ x+z=0\end{cases}$ donne $y=-x$ , $z=-y=x$ , puis $x+z=2x=0$ , donc $x=y=z=0$ . D'où $\mathrm{Ker}\,f=\{0\}$ , $f$ injective.

Étape 4 —

On conclut directement que

f

est bijective, c'est-à-dire un isomorphisme de

E

sur

F

Comme $\dim E=\dim F=3$ et $f$ injective, $f$ est bijective : c'est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$ .

$f$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée

Soit $\varphi\colon\mathbb{R}_n[X]\to\mathbb{R}_n[X]$ , $\varphi(P)=P+P'$ . Montrer que $\varphi$ est un automorphisme.

Application autonome 1

Soit $T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ , $T(x,y)=(3x-y,\ x+y)$ . Montrer que $T$ est un isomorphisme.

Application autonome 2

Soit $f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ , $f(x,y,z)=(x+y+z,\ y+z,\ z)$ . Montrer que $f$ est bijective.

Application autonome 3

Soit $\Phi\colon\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}^3$ , $P\mapsto (P(0),P(1),P(2))$ . Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme.

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En utilisant : en dimension finie avec dim⁡E=dim⁡F\dim E=\dim FdimE=dimF, injective ⇔\Leftrightarrow⇔ surjective ⇔\Leftrightarrow⇔ bijective

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En utilisant : en dimension finie avec $\dim E=\dim F$ , injective $\Leftrightarrow$ surjective $\Leftrightarrow$ bijective