Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ?

En utilisant la stabilité $V(aX+b)=a^2V(X)$ ou les variances des lois usuelles

L'objectif

Obtenir la variance d'une variable aléatoire sans calcul direct en exploitant la stabilité par transformation affine et les variances connues des lois usuelles.

Le principe

Pour toute variable aléatoire $X$ admettant une variance et tous réels $a,b$ : $V(aX+b)=a^2 V(X)$ (le $b$ disparaît, le $a$ se met au carré) ; les variances des lois usuelles sont $V(\mathcal{B}(p))=p(1-p)$ , $V(\mathcal{B}(n,p))=np(1-p)$ , $V(\mathcal{U}([\![a,b]\!]))=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}$ , $V(\mathcal{G}(p))=\frac{1-p}{p^2}$ , $V(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ .

La méthode

1
Je reconnais la loi usuelle suivie par $X$ et j'invoque la variance correspondante donnée par le cours.
Comment reconnaître une loi usuelle dans une modélisation ?Voir
2
Si la variable étudiée est une transformation affine $Y=aX+b$ , j'applique $V(Y)=a^2 V(X)$ (le paramètre $b$ n'intervient pas).
3
Je conclus en donnant $V(Y)$ et, le cas échéant, $\sigma(Y)=|a|\sigma(X)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En utilisant la stabilité V(aX+b)=a2V(X)V(aX+b)=a^2V(X)V(aX+b)=a2V(X) ou les variances des lois usuelles

Exemple corrigé

En utilisant la stabilité $V(aX+b)=a^2V(X)$ ou les variances des lois usuelles