Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ? | MetMat

Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ?

En utilisant la stabilité $V(aX+b)=a^2V(X)$ ou les variances des lois usuelles

Obtenir la variance d'une variable aléatoire sans calcul direct en exploitant la stabilité par transformation affine et les variances connues des lois usuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X\sim\mathcal{B}(10,0{,}4)$ . Calculer $V(3X+2)$ .

L'objectif

Obtenir la variance d'une variable aléatoire sans calcul direct en exploitant la stabilité par transformation affine et les variances connues des lois usuelles.

Le principe

Pour toute variable aléatoire $X$ admettant une variance et tous réels $a,b$ : $V(aX+b)=a^2 V(X)$ (le $b$ disparaît, le $a$ se met au carré) ; les variances des lois usuelles sont $V(\mathcal{B}(p))=p(1-p)$ , $V(\mathcal{B}(n,p))=np(1-p)$ , $V(\mathcal{U}([\![a,b]\!]))=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}$ , $V(\mathcal{G}(p))=\frac{1-p}{p^2}$ , $V(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ .

La méthode

1
Je reconnais la loi usuelle suivie par $X$ et j'invoque la variance correspondante donnée par le cours.
Comment reconnaître une loi usuelle dans une modélisation ?Voir
2
Si la variable étudiée est une transformation affine $Y=aX+b$ , j'applique $V(Y)=a^2 V(X)$ (le paramètre $b$ n'intervient pas).
3
Je conclus en donnant $V(Y)$ et, le cas échéant, $\sigma(Y)=|a|\sigma(X)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

$X\sim\mathcal{B}(10,0{,}4)$ . Calculer $V(3X+2)$ .

Étape 1 —

Je reconnais la loi usuelle suivie par

X

et j'invoque la variance correspondante donnée par le cours.

Par formule du cours, $V(X)=np(1-p)=10\times 0{,}4\times 0{,}6=2{,}4$ .

Étape 2 —

Si la variable étudiée est une transformation affine

Y=aX+b

, j'applique

V(Y)=a^2 V(X)

(le paramètre

b

n'intervient pas).

Par stabilité, $V(3X+2)=3^2\cdot V(X)=9\cdot 2{,}4$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant

V(Y)

et, le cas échéant,

\sigma(Y)=|a|\sigma(X)

Donc $V(3X+2)=21{,}6$ .

$V(3X+2)=21{,}6$ .

Application guidée

$X\sim\mathcal{P}(5)$ . Calculer $V(X)$ et $V(2X-7)$ .

Application autonome 1

$X\sim\mathcal{G}(1/3)$ . Calculer $V(X)$ puis $\sigma(-X+10)$ .

Application autonome 2

$X\sim\mathcal{B}(25,0{,}2)$ . Calculer $V(4X-1)$ .

Application autonome 3

$X\sim\mathcal{P}(9)$ . Calculer $\sigma\!\left(\dfrac{X-9}{3}\right)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant la stabilité V(aX+b)=a2V(X)V(aX+b)=a^2V(X)V(aX+b)=a2V(X) ou les variances des lois usuelles

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant la stabilité $V(aX+b)=a^2V(X)$ ou les variances des lois usuelles