En étudiant le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$

Déterminer le sens de variation d'une suite $(u_n)$ via le signe de $u_{n+1}-u_n$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{n}{n+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite $(u_n)$ via le signe de $u_{n+1}-u_n$ .

Le principe

Une suite $(u_n)$ est croissante (resp. décroissante) si et seulement si $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}-u_n\ge 0$ (resp. $\le 0$ ) ; elle est strictement monotone si l'inégalité est stricte pour tout $n$ .

La méthode

1
Je calcule la différence $u_{n+1}-u_n$ et je la simplifie (mise sur le même dénominateur, factorisation).
2
J'étudie le signe de cette différence pour tout $n\in\mathbb{N}$ (ou à partir d'un certain rang), en utilisant éventuellement les propriétés connues des puissances, factorielles ou polynômes.
3
Je conclus : si la différence est positive pour tout $n$ , la suite est croissante ; si elle est négative, décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{n}{n+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je calcule la différence

u_{n+1}-u_n

et je la simplifie (mise sur le même dénominateur, factorisation).

$u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de cette différence pour tout

n\in\mathbb{N}

(ou à partir d'un certain rang), en utilisant éventuellement les propriétés connues des puissances, factorielles ou polynômes.

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $(n+1)(n+2)>0$ , donc $u_{n+1}-u_n>0$ .

Étape 3 —

Je conclus : si la différence est positive pour tout

n

, la suite est croissante ; si elle est négative, décroissante.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

$(u_n)$ est strictement croissante.

Application guidée

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n^2-5n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 1

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2^n}$ .

Application autonome 2

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 1$ par $u_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}$ .

Application autonome 3

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{n+1}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En étudiant le signe de la différence un+1−unu_{n+1} - u_nun+1​−un​

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$