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Comment étudier une suite récurrente du type un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) ?

En étudiant la monotonie de (un)(u_n) par le signe de f(x)−xf(x)-x sur l'intervalle stable

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) restant dans un intervalle stable II.

Le principe

Si f(I)⊂If(I)\subset I et un∈Iu_n\in I pour tout nn, alors un+1−un=f(un)−unu_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n a le signe de f(x)−xf(x)-x évalué en x=unx=u_n ; en particulier, si f(x)≥xf(x)\ge x sur II, la suite est croissante ; si f(x)≤xf(x)\le x sur II, elle est décroissante.

La méthode
  1. 1
    Je suppose avoir un intervalle stable II contenant tous les unu_n et j'étudie le signe de g(x)=f(x)−xg(x)=f(x)-x sur II (résolution d'équation ou tableau de signes).
    Voir
  2. 2
    J'en déduis le signe de un+1−un=g(un)u_{n+1}-u_n=g(u_n) : si g≥0g\ge 0 sur II, (un)(u_n) est croissante ; si g≤0g\le 0 sur II, (un)(u_n) est décroissante.
  3. 3
    Couplée à la stabilité (donc la bornitude), j'applique le théorème de la limite monotone : (un)(u_n) converge vers un point fixe de ff dans II.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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