Comment étudier une suite récurrente du type $u_{n+1} = f(u_n)$ ? | MetMat

Comment étudier une suite récurrente du type $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

En étudiant la monotonie de $(u_n)$ par le signe de $f(x)-x$ sur l'intervalle stable

Déterminer le sens de variation d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ restant dans un intervalle stable $I$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Suite $u_0=1$ , $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Étudier la monotonie (on sait déjà que $u_n\in[1,2]$ ).

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ restant dans un intervalle stable $I$ .

Le principe

Si $f(I)\subset I$ et $u_n\in I$ pour tout $n$ , alors $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n$ a le signe de $f(x)-x$ évalué en $x=u_n$ ; en particulier, si $f(x)\ge x$ sur $I$ , la suite est croissante ; si $f(x)\le x$ sur $I$ , elle est décroissante.

La méthode

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Je suppose avoir un intervalle stable $I$ contenant tous les $u_n$ et j'étudie le signe de $g(x)=f(x)-x$ sur $I$ (résolution d'équation ou tableau de signes).
Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée ?Voir
2
J'en déduis le signe de $u_{n+1}-u_n=g(u_n)$ : si $g\ge 0$ sur $I$ , $(u_n)$ est croissante ; si $g\le 0$ sur $I$ , $(u_n)$ est décroissante.
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Couplée à la stabilité (donc la bornitude), j'applique le théorème de la limite monotone : $(u_n)$ converge vers un point fixe de $f$ dans $I$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Suite $u_0=1$ , $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Étudier la monotonie (on sait déjà que $u_n\in[1,2]$ ).

Étape 1 —

Je suppose avoir un intervalle stable

I

contenant tous les

u_n

et j'étudie le signe de

g(x)=f(x)-x

sur

I

(résolution d'équation ou tableau de signes).

Je pose $g(x)=\sqrt{x+2}-x$ sur $[1,2]$ . Alors $g(x)\ge 0\Leftrightarrow x+2\ge x^2\Leftrightarrow x^2-x-2\le 0\Leftrightarrow x\in[-1,2]$ , donc $g\ge 0$ sur $[1,2]$ .

Étape 2 —

J'en déduis le signe de

u_{n+1}-u_n=g(u_n)

: si

g\ge 0

sur

I

(u_n)

est croissante ; si

g\le 0

sur

I

(u_n)

est décroissante.

Donc $u_{n+1}-u_n=g(u_n)\ge 0$ pour tout $n$ : $(u_n)$ est croissante.

Étape 3 —

Couplée à la stabilité (donc la bornitude), j'applique le théorème de la limite monotone :

(u_n)

converge vers un point fixe de

f

dans

I

Croissante et majorée par $2$ , $(u_n)$ converge vers un point fixe de $f$ dans $[1,2]$ : $\ell=\sqrt{\ell+2}$ donne $\ell=2$ .

$(u_n)$ est croissante et converge vers $2$ .

Application guidée

Suite $u_0=3$ , $u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{2}$ . Étudier la monotonie et la limite.

Application autonome 1

Suite $u_0=3$ , $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Étudier la monotonie et la limite (intervalle stable $[2,3]$ ).

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=\tfrac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$ . Étudier la monotonie et la limite sur l'intervalle stable $[0,\tfrac{1}{2}]$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=\tfrac{1}{2}(u_n+\tfrac{9}{u_n})$ . Étudier la monotonie sur l'intervalle stable $[3,+\infty[$ et la limite.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En étudiant la monotonie de (un)(u_n)(un​) par le signe de f(x)−xf(x)-xf(x)−x sur l'intervalle stable

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant la monotonie de $(u_n)$ par le signe de $f(x)-x$ sur l'intervalle stable