En encadrant la suite entre deux suites de même limite (théorème des gendarmes)

Montrer la convergence d'une suite dont l'expression comporte un terme borné non explicite (sinus, cosinus, $(-1)^n$ , partie entière…).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la limite de $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ pour $n\ge 1$ .

L'objectif

Montrer la convergence d'une suite dont l'expression comporte un terme borné non explicite (sinus, cosinus, $(-1)^n$ , partie entière…).

Le principe

Si $a_n\le u_n\le b_n$ à partir d'un certain rang et si $a_n\to\ell$ et $b_n\to\ell$ , alors $(u_n)$ converge et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

La méthode

1
J'identifie dans $u_n$ un terme borné (par exemple $\sin n$ , $\cos n$ , $(-1)^n$ ) et j'encadre ce terme par des constantes.
2
J'en déduis un encadrement $a_n\le u_n\le b_n$ valable à partir d'un certain rang, où $(a_n)$ et $(b_n)$ sont explicitement calculables.
3
Je vérifie que $a_n$ et $b_n$ tendent vers la même limite $\ell$ et j'applique le théorème des gendarmes pour conclure $u_n\to\ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Étudier la limite de $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ pour $n\ge 1$ .

Étape 1 —

J'identifie dans

u_n

un terme borné (par exemple

\sin n

\cos n

(-1)^n

) et j'encadre ce terme par des constantes.

Le terme $(-1)^n$ est borné : pour tout $n\ge 1$ , $-1\le (-1)^n\le 1$ .

Étape 2 —

J'en déduis un encadrement

a_n\le u_n\le b_n

valable à partir d'un certain rang, où

(a_n)

(b_n)

sont explicitement calculables.

En divisant par $n>0$ : $-\dfrac{1}{n}\le \dfrac{(-1)^n}{n}\le \dfrac{1}{n}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que

a_n

b_n

tendent vers la même limite

\ell

et j'applique le théorème des gendarmes pour conclure

u_n\to\ell

Comme $-\frac{1}{n}\to 0$ et $\frac{1}{n}\to 0$ , par le théorème des gendarmes, $u_n\to 0$ .

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ .

Application guidée

Étudier la limite de $u_n=\dfrac{\sin n}{n}$ pour $n\ge 1$ .

Application autonome 1

Étudier la limite de $u_n=\dfrac{\lfloor n^2\sqrt{2}\rfloor}{n^2}$ .

Application autonome 2

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ pour $u_n=\dfrac{2+(-1)^n}{n^2+1}$ , $n\geq 0$ .

Application autonome 3

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ pour $u_n=\dfrac{\lfloor n\sqrt 3\rfloor}{n}$ , $n\geq 1$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices