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Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En encadrant unu_n à l'aide d'une suite de référence connue

L'objectif

Établir qu'une suite est majorée, minorée ou bornée en la comparant à une suite connue (géométrique, arithmétique, somme de Riemann, ...).

Le principe

Si ∀n∈N, un≤vn\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\le v_n et (vn)(v_n) est majorée par MM, alors (un)(u_n) est majorée par MM ; analogue pour la minoration et la bornitude.

La méthode
  1. 1
    Je repère une suite (vn)(v_n) (ou une valeur explicite) dont je connais une majoration/minoration utile (géométrique convergente, somme télescopique, intégrale de référence, etc.).
  2. 2
    Je justifie l'inégalité un≤vnu_n\le v_n (ou un≥vnu_n\ge v_n) pour tout nn, en l'argumentant par majoration terme à terme, intégrale ou inégalité classique.
  3. 3
    Je transfère la borne connue de (vn)(v_n) à (un)(u_n) pour conclure sur son caractère majoré, minoré ou borné.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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