Comment calculer explicitement le terme général d'une suite arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique ? | MetMat

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique ?

En se ramenant à une suite géométrique via la recherche du point fixe pour une suite arithmético-géométrique

L'objectif

Exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ (avec $a\neq 1$ ) en fonction de $n$ .

Le principe

Si $a\neq 1$ , l'équation $\ell=a\ell+b$ admet l'unique solution $\ell=\frac{b}{1-a}$ ; la suite $v_n=u_n-\ell$ vérifie $v_{n+1}=a\,v_n$ , donc $v_n=v_0\,a^n$ et $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ .

La méthode

1
Je vérifie que $a\neq 1$ (sinon la suite est arithmétique de raison $b$ ), puis je cherche le point fixe $\ell$ en résolvant $\ell=a\ell+b$ , ce qui donne $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
2
Je pose $v_n=u_n-\ell$ et je calcule $v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=au_n+b-\ell=a(u_n-\ell)=a\,v_n$ , donc $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ .
3
J'en déduis $v_n=v_0\,a^n=(u_0-\ell)a^n$ puis $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ .

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ . Exprimer $u_n$ .

Application guidée 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=3u_n-4$ . Exprimer $u_n$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=-\frac{1}{3}u_n+4$ . Exprimer $u_n$ .

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=2u_n+1$ . Exprimer $u_n$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\tfrac{1}{3}u_n+2$ . Exprimer $u_n$ et donner sa limite.

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.