Comment calculer explicitement le terme général d'une suite arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique ? | MetMat

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique ?

En appliquant les formules $u_n = u_0 + nr$ (arithmétique) ou $u_n = u_0 q^n$ (géométrique)

Exprimer le terme général $u_n$ d'une suite arithmétique ou géométrique en fonction de $n$ et du premier terme.

L'objectif

Exprimer le terme général $u_n$ d'une suite arithmétique ou géométrique en fonction de $n$ et du premier terme.

Le principe

Si $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+r$ , alors $u_n=u_0+nr$ ; si $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=q\,u_n$ , alors $u_n=u_0\,q^n$ .

La méthode

1
Je reconnais la nature de la suite : si la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante égale à $r$ , la suite est arithmétique de raison $r$ ; si le rapport $u_{n+1}/u_n$ est constant égal à $q$ (en supposant $u_n\neq 0$ ), elle est géométrique de raison $q$ .
2
Je lis le premier terme $u_0$ (ou $u_1$ selon l'indice de départ) et la raison $r$ ou $q$ .
3
J'applique la formule : $u_n=u_0+nr$ pour une suite arithmétique, $u_n=u_0\,q^n$ pour une suite géométrique, en adaptant l'indice de départ si besoin ( $u_n=u_p+(n-p)r$ ou $u_n=u_p\,q^{n-p}$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+3$ . Donner l'expression de $u_n$ et représenter $u_0,u_1,u_2,u_3$ .

Étape 1 —

Je reconnais la nature de la suite : si la différence

u_{n+1}-u_n

est constante égale à

r

, la suite est arithmétique de raison

r

; si le rapport

u_{n+1}/u_n

est constant égal à

q

(en supposant

u_n\neq 0

), elle est géométrique de raison

q

La différence $u_{n+1}-u_n=3$ est constante : la suite est arithmétique de raison $r=3$ .

Étape 2 —

Je lis le premier terme

u_0

(ou

u_1

selon l'indice de départ) et la raison

r

q

Le premier terme est $u_0=2$ et la raison vaut $r=3$ .

Étape 3 —

J'applique la formule :

u_n=u_0+nr

pour une suite arithmétique,

u_n=u_0\,q^n

pour une suite géométrique, en adaptant l'indice de départ si besoin (

u_n=u_p+(n-p)r

u_n=u_p\,q^{n-p}

Donc $u_n=u_0+nr=2+3n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

$u_n=2+3n$ .

Application guidée

Soit $(v_n)$ définie par $v_0=1$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ v_{n+1}=2v_n$ . Exprimer $v_n$ .

Application autonome 1

Soit $(w_n)$ arithmétique telle que $w_3=7$ et $w_8=22$ . Déterminer $w_n$ .

Application autonome 2

Soit $(t_n)$ géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et telle que $t_2=3$ . Donner $t_n$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=-2$ . Calculer $u_{10}$ et déterminer le rang $n$ tel que $u_n=-21$ .

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