Comment calculer les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart-type) ? | MetMat

Comment calculer les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart-type) ?

En appliquant la formule de Koenig $s_x^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$ , puis $s_x = \sqrt{s_x^2}$

Calculer la variance $s_x^2$ et l'écart-type $s_x$ d'une série statistique par la formule de Koenig, plus rapide que la définition directe.

L'objectif

Calculer la variance $s_x^2$ et l'écart-type $s_x$ d'une série statistique par la formule de Koenig, plus rapide que la définition directe.

Le principe

La variance est définie par $s_x^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$ ; la formule de Koenig donne l'égalité équivalente $s_x^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$ où $\overline{x^2}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2$ , et l'écart-type est $s_x=\sqrt{s_x^2}\ge 0$ .

La méthode

1
Je calcule la moyenne $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_i n_i x_i$ de la série.
Comment calculer les indicateurs de tendance centrale (moyenne, médiane) d'une série statistique ?Voir
2
Je calcule la moyenne des carrés $\overline{x^2}=\dfrac{1}{n}\sum_i n_i x_i^2$ en sommant les $x_i^2$ pondérés par les effectifs.
3
J'applique la formule de Koenig $s_x^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$ , puis j'en déduis $s_x=\sqrt{s_x^2}$ et j'interprète la dispersion.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la variance et l'écart-type de la série $4, 6, 8, 10$ .

Étape 1 —

Je calcule la moyenne

\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_i n_i x_i

de la série.

$\bar{x}=\dfrac{4+6+8+10}{4}=\dfrac{28}{4}=7$ .

Étape 2 —

Je calcule la moyenne des carrés

\overline{x^2}=\dfrac{1}{n}\sum_i n_i x_i^2

en sommant les

x_i^2

pondérés par les effectifs.

$\overline{x^2}=\dfrac{4^2+6^2+8^2+10^2}{4}=\dfrac{16+36+64+100}{4}=\dfrac{216}{4}=54$ .

Étape 3 —

J'applique la formule de Koenig

s_x^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2

, puis j'en déduis

s_x=\sqrt{s_x^2}

et j'interprète la dispersion.

$s_x^2=54-7^2=54-49=5$ , donc $s_x=\sqrt{5}\approx 2{,}236$ .

$s_x^2=5$ et $s_x=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ .

Application guidée

Calculer la variance et l'écart-type de la série des notes $8, 12, 14, 16, 10, 9, 13, 15$ .

Application autonome 1

Une série d'effectifs est donnée par : valeur $0$ (effectif $3$ ), valeur $1$ (effectif $5$ ), valeur $2$ (effectif $2$ ). Calculer la variance.

Application autonome 2

Calculer l'écart-type de la série $2, 2, 3, 5, 8$ .

Application autonome 3

Calculer la variance et l'écart-type de la série $1, 3, 5, 7, 9$ .

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En appliquant la formule de Koenig sx2=x2‾−xˉ2s_x^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2sx2​=x2−xˉ2, puis sx=sx2s_x = \sqrt{s_x^2}sx​=sx2​​

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En appliquant la formule de Koenig $s_x^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$ , puis $s_x = \sqrt{s_x^2}$