Comment construire la fonction de répartition empirique et en déduire les quantiles ? | MetMat

Comment construire la fonction de répartition empirique et en déduire les quantiles ?

En cumulant les fréquences croissantes et en lisant graphiquement les quantiles $Q_1$ , médiane, $Q_3$

Construire la fonction de répartition empirique $F_n$ d'une série statistique et en déduire graphiquement les quartiles $Q_1$ , $\mathrm{Me}$ et $Q_3$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On relève pour $15$ élèves le nombre de livres lus durant l'été : $0$ ( $2$ élèves), $1$ ( $4$ élèves), $2$ ( $5$ élèves), $3$ ( $3$ élèves), $4$ ( $1$ élève). Construire la fonction de répartition empirique et en déduire $Q_1$ , $\mathrm{Me}$ , $Q_3$ .

L'objectif

Construire la fonction de répartition empirique $F_n$ d'une série statistique et en déduire graphiquement les quartiles $Q_1$ , $\mathrm{Me}$ et $Q_3$ .

Le principe

Pour une série $(x_i)$ rangée par ordre croissant, la fonction de répartition empirique est définie par $F_n(t)=\dfrac{1}{n}\#\{i,\ x_i\le t\}$ ; c'est une fonction en escalier croissante, continue à droite, valant $0$ avant $x_{(1)}$ et $1$ à partir de $x_{(n)}$ . Les quartiles sont les plus petites valeurs $t$ telles que $F_n(t)\ge 0{,}25$ , $F_n(t)\ge 0{,}5$ et $F_n(t)\ge 0{,}75$ .

La méthode

1
Je dresse un tableau avec les valeurs distinctes $v_j$ triées, leurs effectifs $n_j$ , les effectifs cumulés $N_j$ et les fréquences cumulées croissantes $F_j=N_j/n$ .
2
Je trace la fonction de répartition empirique : une courbe en escalier qui vaut $F_j$ sur l'intervalle $[v_j,v_{j+1}[$ , avec des sauts verticaux aux $v_j$ de hauteur $f_j=n_j/n$ .
3
Je lis les quartiles : pour $Q_1$ je cherche la plus petite valeur $v_j$ telle que $F_j\ge 0{,}25$ ; idem avec $0{,}5$ pour la médiane et $0{,}75$ pour $Q_3$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je dresse un tableau avec les valeurs distinctes

v_j

triées, leurs effectifs

n_j

, les effectifs cumulés

N_j

et les fréquences cumulées croissantes

F_j=N_j/n

Tableau des effectifs cumulés : $v=0,N=2,F\approx 0{,}133$ ; $v=1,N=6,F=0{,}4$ ; $v=2,N=11,F\approx 0{,}733$ ; $v=3,N=14,F\approx 0{,}933$ ; $v=4,N=15,F=1$ .

Étape 2 —

Je trace la fonction de répartition empirique : une courbe en escalier qui vaut

F_j

sur l'intervalle

[v_j,v_{j+1}[

, avec des sauts verticaux aux

v_j

de hauteur

f_j=n_j/n

Je trace la fonction de répartition empirique en escalier.

Étape 3 —

Je lis les quartiles : pour

Q_1

je cherche la plus petite valeur

v_j

telle que

F_j\ge 0{,}25

; idem avec

0{,}5

pour la médiane et

0{,}75

pour

Q_3

Pour $Q_1$ je cherche la plus petite valeur avec $F\ge 0{,}25$ : c'est $v=1$ (car $F=0{,}4$ ). Pour $\mathrm{Me}$ , $F\ge 0{,}5$ donne $v=2$ (car $F=0{,}733$ ). Pour $Q_3$ , $F\ge 0{,}75$ donne $v=3$ (car $F=0{,}933$ ).

$Q_1=1$ , $\mathrm{Me}=2$ et $Q_3=3$ livres.

Application guidée

On interroge $10$ clients sur le nombre d'achats effectués en un mois : $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6$ . Construire la fonction de répartition empirique et en déduire les quartiles.

Application autonome 1

Dresser la fonction de répartition empirique de la série $1, 2, 2, 3, 4$ et lire la médiane.

Application autonome 2

On relève pour $12$ entreprises le nombre de salariés : $5,5,7,7,7,9,10,12,12,14,15,18$ . Construire la fonction de répartition empirique et donner la médiane, $Q_1$ et $Q_3$ .

Application autonome 3

Un sondage sur $20$ familles donne le nombre d'enfants : $0$ ( $3$ familles), $1$ ( $7$ familles), $2$ ( $6$ familles), $3$ ( $3$ familles), $4$ ( $1$ famille). Construire la fonction de répartition empirique et donner la médiane et les quartiles.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En cumulant les fréquences croissantes et en lisant graphiquement les quantiles Q1Q_1Q1​, médiane, Q3Q_3Q3​

Pour comprendre, fais des exercices !

En cumulant les fréquences croissantes et en lisant graphiquement les quantiles $Q_1$ , médiane, $Q_3$