Comment calculer les indicateurs de tendance centrale (moyenne, médiane) d'une série statistique ? | MetMat

Comment calculer les indicateurs de tendance centrale (moyenne, médiane) d'une série statistique ?

En appliquant la formule de la moyenne pondérée par les effectifs ou fréquences : $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_i n_i x_i$

Calculer la moyenne arithmétique $\bar{x}$ d'une série statistique quantitative, donnée brute ou sous forme d'un tableau d'effectifs.

L'objectif

Calculer la moyenne arithmétique $\bar{x}$ d'une série statistique quantitative, donnée brute ou sous forme d'un tableau d'effectifs.

Le principe

Pour une série $(x_i)_{1\le i\le n}$ , la moyenne vaut $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ ; si les valeurs distinctes $v_1,\dots,v_k$ apparaissent avec effectifs $n_1,\dots,n_k$ (avec $n=\sum_j n_j$ ), on a $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{k} n_j v_j = \sum_{j=1}^{k} f_j v_j$ où $f_j=n_j/n$ est la fréquence.

La méthode

1
Identifier la forme de la série : liste brute de $n$ valeurs de même poids, ou tableau donnant les valeurs distinctes $v_j$ avec leurs effectifs $n_j$ (ou fréquences $f_j$ ).
2
Je calcule la somme pondérée $S=\sum_j n_j v_j$ (ou directement $\sum_i x_i$ pour une liste brute) et je note l'effectif total $n=\sum_j n_j$ .
3
Je divise : $\bar{x}=\dfrac{S}{n}$ , puis j'interprète le résultat dans le contexte de l'énoncé.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la moyenne des notes suivantes obtenues par un élève : $8, 12, 14, 16, 10, 9, 13, 15$ .

Étape 1 —

Identifier la forme de la série : liste brute de

n

valeurs de même poids, ou tableau donnant les valeurs distinctes

v_j

avec leurs effectifs

n_j

(ou fréquences

f_j

La série est donnée sous forme brute avec $n=8$ valeurs, toutes de même poids.

Étape 2 —

Je calcule la somme pondérée

S=\sum_j n_j v_j

(ou directement

\sum_i x_i

pour une liste brute) et je note l'effectif total

n=\sum_j n_j

Je calcule la somme : $S=8+12+14+16+10+9+13+15=97$ , et $n=8$ .

Étape 3 —

Je divise :

\bar{x}=\dfrac{S}{n}

, puis j'interprète le résultat dans le contexte de l'énoncé.

$\bar{x}=\dfrac{97}{8}=12{,}125$ : la note moyenne de l'élève est $12{,}125$ .

$\bar{x}=12{,}125$ .

Application guidée

Une classe de $30$ élèves a obtenu les notes suivantes : note $8$ pour $6$ élèves, note $11$ pour $9$ élèves, note $13$ pour $10$ élèves et note $16$ pour $5$ élèves. Calculer la note moyenne de la classe.

Application autonome 1

Dans une enquête, le nombre d'enfants par foyer se répartit selon les fréquences suivantes : $0$ enfant ( $f=0{,}20$ ), $1$ enfant ( $f=0{,}30$ ), $2$ enfants ( $f=0{,}35$ ), $3$ enfants ( $f=0{,}15$ ). Calculer le nombre moyen d'enfants par foyer.

Application autonome 2

On relève les durées (en minutes) de $5$ trajets : $18, 22, 25, 20, 15$ . Calculer la durée moyenne.

Application autonome 3

Une entreprise emploie trois catégories : $20$ ouvriers au salaire mensuel moyen de $1\,800$ \text{€}, $15$ techniciens à $2\,400$ \text{€} et $5$ cadres à $4\,000$ \text{€}. Calculer le salaire moyen global.

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En appliquant la formule de la moyenne pondérée par les effectifs ou fréquences : xˉ=1n∑inixi\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_i n_i x_ixˉ=n1​∑i​ni​xi​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la formule de la moyenne pondérée par les effectifs ou fréquences : $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_i n_i x_i$