Comment calculer les indicateurs de tendance centrale (moyenne, médiane) d'une série statistique ? | MetMat

Comment calculer les indicateurs de tendance centrale (moyenne, médiane) d'une série statistique ?

En ordonnant les données et en lisant la médiane (valeur centrale, ou moyenne des deux valeurs centrales)

Déterminer la médiane $\mathrm{Me}$ d'une série statistique, c'est-à-dire une valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés d'effectifs égaux.

L'objectif

Déterminer la médiane $\mathrm{Me}$ d'une série statistique, c'est-à-dire une valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés d'effectifs égaux.

Le principe

Si on range la série $(x_i)$ par ordre croissant en $x_{(1)}\le x_{(2)}\le\dots\le x_{(n)}$ , alors : pour $n$ impair, $\mathrm{Me}=x_{((n+1)/2)}$ ; pour $n$ pair, $\mathrm{Me}=\dfrac{1}{2}\left(x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}\right)$ .

La méthode

1
J'écris la série par ordre croissant $x_{(1)}\le \dots \le x_{(n)}$ (en tenant compte des répétitions si la série est donnée en effectifs).
2
Déterminer la parité de $n$ : pour $n$ impair, le rang central est $\frac{n+1}{2}$ ; pour $n$ pair, les deux rangs centraux sont $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$ .
3
Je lis la médiane : $\mathrm{Me}=x_{((n+1)/2)}$ pour $n$ impair, ou $\mathrm{Me}=\tfrac{1}{2}(x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)})$ pour $n$ pair.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer la médiane de la série : $8, 12, 14, 16, 10, 9, 13, 15$ .

Étape 1 —

J'écris la série par ordre croissant

x_{(1)}\le \dots \le x_{(n)}

(en tenant compte des répétitions si la série est donnée en effectifs).

Je range la série par ordre croissant : $8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16$ .

Étape 2 —

Déterminer la parité de

n

: pour

n

impair, le rang central est

\frac{n+1}{2}

; pour

n

pair, les deux rangs centraux sont

\frac{n}{2}

\frac{n}{2}+1

On a $n=8$ , nombre pair, donc je m'intéresse aux rangs $\frac{n}{2}=4$ et $\frac{n}{2}+1=5$ : $x_{(4)}=12$ et $x_{(5)}=13$ .

Étape 3 —

Je lis la médiane :

\mathrm{Me}=x_{((n+1)/2)}

pour

n

impair, ou

\mathrm{Me}=\tfrac{1}{2}(x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)})

pour

n

pair.

$\mathrm{Me}=\dfrac{12+13}{2}=12{,}5$ : la note médiane est $12{,}5$ .

$\mathrm{Me}=12{,}5$ .

Application guidée

Déterminer la médiane de la série : $3, 7, 5, 9, 4, 6, 8$ .

Application autonome 1

Dans une classe, le nombre de frères et sœurs par élève est donné par : $0$ ( $5$ élèves), $1$ ( $9$ élèves), $2$ ( $4$ élèves), $3$ ( $2$ élèves). Calculer la médiane.

Application autonome 2

Déterminer la médiane des salaires mensuels (en k\text{€}) : $1{,}8 ; 2{,}1 ; 2{,}3 ; 2{,}5 ; 5{,}0$ .

Application autonome 3

Déterminer la médiane de la série : $4, 7, 2, 9, 12, 5, 3, 8, 6, 11$ .

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