Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ? | MetMat

Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?

En appliquant directement les sommes connues : $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1}{1-q}$ , $\sum_{n=1}^{+\infty} nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$ pour $|q|<1$ , et $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$

Calculer la somme d'une série en identifiant qu'elle se ramène, par un changement d'indice ou une factorisation, à une série usuelle au programme.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n}$ .

L'objectif

Calculer la somme d'une série en identifiant qu'elle se ramène, par un changement d'indice ou une factorisation, à une série usuelle au programme.

Le principe

On dispose des sommes usuelles : pour $|q|<1$ , $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1}{1-q}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$ ; pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}=e^x$ . L'hypothèse $|q|<1$ est indispensable pour les séries géométriques et leur dérivée.

La méthode

1
J'identifie la forme de la série : puissance $q^n$ , $nq^{n-1}$ , ou $\frac{x^n}{n!}$ ; je note la raison $q$ (ou le paramètre $x$ ) et l'indice de départ.
2
Je vérifie les hypothèses de validité : pour une série géométrique ou sa dérivée, $|q|<1$ ; la série exponentielle converge pour tout $x\in\mathbb{R}$ .
3
Je me ramène à l'indice standard (éventuellement par changement d'indice ou factorisation), puis j'applique la formule close et je conclus.
Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n}$ .

Étape 1 —

J'identifie la forme de la série : puissance

q^n

nq^{n-1}

, ou

\frac{x^n}{n!}

; je note la raison

q

(ou le paramètre

x

) et l'indice de départ.

Je reconnais une série géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ , démarrant à $n=0$ .

Étape 2 —

Je vérifie les hypothèses de validité : pour une série géométrique ou sa dérivée,

|q|<1

; la série exponentielle converge pour tout

x\in\mathbb{R}

On a $\left|\frac{1}{2}\right|<1$ : l'hypothèse de convergence est vérifiée.

Étape 3 —

Je me ramène à l'indice standard (éventuellement par changement d'indice ou factorisation), puis j'applique la formule close et je conclus.

J'applique la formule : $\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ .

$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n}=2$ .

Application guidée

Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ .

Application autonome 1

Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!}$ .

Application autonome 2

Calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\cdot 2^n}$ .

Application autonome 3

Calculer $\sum_{n=2}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ (indice de départ non standard).

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