En reconnaissant une somme télescopique ou une formule classique ( $\sum k$ , $\sum k^2$ , $\sum q^k$ )

Calculer la valeur exacte d'une somme finie en reconnaissant une formule classique ou en la télescopant.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ .

L'objectif

Calculer la valeur exacte d'une somme finie en reconnaissant une formule classique ou en la télescopant.

Le principe

Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ , $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\neq 1$ , $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ , et toute somme du type $\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)$ se simplifie en $a_{n+1}-a_1$ .

La méthode

1
J'analyse la forme du terme général $u_k$ pour identifier si la somme correspond à une formule classique ou si elle peut s'écrire sous forme télescopique $u_k=a_{k+1}-a_k$ .
2
J'applique la formule reconnue, ou je décompose $u_k$ (par exemple en éléments simples) pour faire apparaître un télescopage.
3
Je simplifie l'expression obtenue pour obtenir une formule close, et je vérifie sur un petit cas ( $n=1$ ou $n=2$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ .

Étape 1 —

J'analyse la forme du terme général

u_k

pour identifier si la somme correspond à une formule classique ou si elle peut s'écrire sous forme télescopique

u_k=a_{k+1}-a_k

Je décompose en éléments simples : $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ , forme télescopique avec $a_k=\frac{1}{k}$ .

Étape 2 —

J'applique la formule reconnue, ou je décompose

u_k

(par exemple en éléments simples) pour faire apparaître un télescopage.

D'où $S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}$ .

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue pour obtenir une formule close, et je vérifie sur un petit cas (

n=1

n=2

Je simplifie : $S_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$ . Vérification pour $n=1$ : $\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}$ , correct.

$S_n=\dfrac{n}{n+1}$ .

Application guidée

Calculer $T_n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 1

Calculer $U_n=\sum_{k=0}^{n}2^k$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 2

Calculer, pour $n\in\mathbb{N}^*$ , $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\dfrac{k+1}{k}\right)$ .

Application autonome 3

Calculer, pour $n\in\mathbb{N}^*$ , $T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En reconnaissant une somme télescopique ou une formule classique (∑k\sum k∑k, ∑k2\sum k^2∑k2, ∑qk\sum q^k∑qk)

Pour comprendre, fais des exercices !

En reconnaissant une somme télescopique ou une formule classique ( $\sum k$ , $\sum k^2$ , $\sum q^k$ )