En menant une récurrence simple (initialisation + hérédité $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ )

Démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ par récurrence simple.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}^*, \;\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ .

L'objectif

Démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ par récurrence simple.

Le principe

Principe de récurrence : si $P(n_0)$ est vraie et si $\forall n \geq n_0, P(n) \Rightarrow P(n+1)$ , alors $\forall n \geq n_0, P(n)$ est vraie.

La méthode

1
J'énonce clairement la propriété $P(n)$ à démontrer et le rang initial $n_0$ .
2
Initialisation : je vérifie $P(n_0)$ par calcul direct.
3
Hérédité : je suppose $P(n)$ vraie pour un $n \geq n_0$ quelconque fixé (hypothèse de récurrence), et j'en déduis $P(n+1)$ .
4
Je conclus par le principe de récurrence : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}^*, \;\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Étape 1 —

J'énonce clairement la propriété

P(n)

à démontrer et le rang initial

n_0

Je pose $P(n) : \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ , à prouver pour tout $n \geq 1$ .

Étape 2 —

Initialisation : je vérifie

P(n_0)

par calcul direct.

Initialisation : pour $n = 1$ , $\sum_{k=1}^{1} k = 1$ et $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ . Donc $P(1)$ est vraie.

Étape 3 —

Hérédité : je suppose

P(n)

vraie pour un

n \geq n_0

quelconque fixé (hypothèse de récurrence), et j'en déduis

P(n+1)

Hérédité : je suppose $P(n)$ vraie. Alors $\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ , ce qui est exactement $P(n+1)$ .

Étape 4 —

Je conclus par le principe de récurrence :

P(n)

est vraie pour tout

n \geq n_0

Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 1$ .

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \;\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Application guidée

Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, \;2^n \geq n + 1$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + 2)$ . Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, \;u_n \leq 2$ .

Application autonome 2

Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N},\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Application autonome 3

Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}^*,\;\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)=n+1$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En menant une récurrence simple (initialisation + hérédité P(n)⇒P(n+1)P(n)\Rightarrow P(n+1)P(n)⇒P(n+1))

Pour comprendre, fais des exercices !

En menant une récurrence simple (initialisation + hérédité $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ )