En échangeant les quantificateurs ( $\forall\leftrightarrow\exists$ ) et en appliquant les lois de De Morgan

L'objectif

Écrire la négation d'une proposition quantifiée en respectant les règles $\neg(\forall x, P(x)) = \exists x, \neg P(x)$ et les lois de De Morgan.

Le principe

Les règles de base sont : $\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$ , $\neg(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x)$ , $\neg(A \ \mathrm{et} \ B) \equiv \neg A \ \mathrm{ou} \ \neg B$ , $\neg(A \ \mathrm{ou} \ B) \equiv \neg A \ \mathrm{et} \ \neg B$ , et $\neg(A \Rightarrow B) \equiv A \ \mathrm{et} \ \neg B$ .

La méthode

1
Je repère la structure logique de la proposition : quantificateurs, connecteurs ( $\mathrm{et}$ , $\mathrm{ou}$ , $\Rightarrow$ ) et le prédicat final.
2
Je parcours la proposition de gauche à droite en échangeant chaque $\forall$ en $\exists$ et chaque $\exists$ en $\forall$ , et en appliquant De Morgan aux connecteurs.
3
Je termine en niant le prédicat le plus interne (par exemple $\leq$ devient $>$ , $=$ devient $\neq$ , $<$ devient $\geq$ ).

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Application guidée 1

Écrire la négation de la proposition $P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y > 0, x < y$ .

Application guidée 2

Écrire la négation de $Q : \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - \ell| < \varepsilon$ .

Application autonome 1

Écrire la négation de $R : \forall x \in \mathbb{R}, (x \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq x)$ .

Application autonome 2

Écrire la négation de la proposition $P : \exists x\in\mathbb{R},\ \forall y\in\mathbb{R},\ x+y>0$ .

Application autonome 3

Écrire la négation de $Q : \forall n\in\mathbb{N},\ (n\ \text{premier}\Rightarrow n\ \text{impair ou }n=2)$ .

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En échangeant les quantificateurs (∀↔∃\forall\leftrightarrow\exists∀↔∃) et en appliquant les lois de De Morgan

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En échangeant les quantificateurs ( $\forall\leftrightarrow\exists$ ) et en appliquant les lois de De Morgan