Comment démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ? | MetMat

Comment démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ?

En montrant une inclusion par appartenance : $x\in A \Rightarrow x\in B$

Démontrer qu'un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$ en raisonnant sur un élément générique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}\subset [-1,1]$ .

L'objectif

Démontrer qu'un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$ en raisonnant sur un élément générique.

Le principe

Par définition, $A\subset B$ signifie $\forall x,\;(x\in A \Rightarrow x\in B)$ : il suffit donc de prendre $x\in A$ quelconque et d'établir $x\in B$ .

La méthode

1
Je me donne un élément $x$ quelconque de $A$ et je traduis la condition $x\in A$ à l'aide de la définition de $A$ .
2
À partir des propriétés de $x$ , je déduis, par calculs ou implications logiques, que $x$ vérifie la condition qui définit $B$ .
3
Je conclus $x\in B$ ; comme $x$ était arbitraire dans $A$ , j'ai bien $A\subset B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}\subset [-1,1]$ .

Étape 1 —

Je me donne un élément

x

quelconque de

A

et je traduis la condition

x\in A

à l'aide de la définition de

A

Je prends $x\in\mathbb{R}$ tel que $x^2\leq 1$ , c'est-à-dire $x\in A$ .

Étape 2 —

À partir des propriétés de

x

, je déduis, par calculs ou implications logiques, que

x

vérifie la condition qui définit

B

De $x^2\leq 1$ je déduis $|x|\leq 1$ , d'où $-1\leq x\leq 1$ .

Étape 3 —

Je conclus

x\in B

; comme

x

était arbitraire dans

A

, j'ai bien

A\subset B

Donc $x\in[-1,1]$ , et par suite $A\subset [-1,1]$ .

$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}\subset [-1,1]$ .

Application guidée

Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$ . Montrer que $A\cap B\subset A\cup B$ .

Application autonome 1

Montrer que $\{n\in\mathbb{N}\mid n\text{ est un multiple de }6\}\subset \{n\in\mathbb{N}\mid n\text{ est pair}\}$ .

Application autonome 2

Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$ . Montrer que $A\setminus B\subset A$ .

Application autonome 3

Montrer que $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\}\subset\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x|\le 1\}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En montrant une inclusion par appartenance : x∈A⇒x∈Bx\in A \Rightarrow x\in Bx∈A⇒x∈B

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant une inclusion par appartenance : $x\in A \Rightarrow x\in B$