En exhibant un contre-exemple qui viole la proposition

L'objectif

Réfuter une proposition universelle $\forall x \in E, P(x)$ en trouvant un élément de $E$ qui ne vérifie pas $P$ .

Le principe

La négation de $\forall x \in E, P(x)$ est $\exists x \in E, \neg P(x)$ : il suffit donc d'exhiber un seul $x_0 \in E$ tel que $\neg P(x_0)$ pour montrer que la proposition universelle est fausse.

La méthode

1
Je formule la négation de la proposition : $\exists x \in E, \neg P(x)$ , et je cherche un candidat $x_0 \in E$ susceptible de violer $P$ .
Comment formuler la négation d'une proposition ?Voir
2
Je vérifie par calcul direct que $x_0 \in E$ et que $\neg P(x_0)$ est vraie (c'est-à-dire que $P(x_0)$ est fausse).
3
Je conclus : ce contre-exemple suffit à réfuter la proposition $\forall x \in E, P(x)$ .

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Application guidée 1

Infirmer la proposition « $\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 > x$ ».

Application guidée 2

Infirmer la proposition « $\forall n \in \mathbb{N}, \ n^2 - n + 41 \ \mathrm{est} \ \mathrm{premier} $ ».

Application autonome 1

Infirmer la proposition « $\forall x, y \in \mathbb{R}, \ (x + y)^2 = x^2 + y^2$ ».

Application autonome 2

Infirmer la proposition « pour tous $a,b\in\mathbb{R}$ , $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ ».

Application autonome 3

Infirmer la proposition « toute suite bornée est convergente ».

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