Comment montrer qu'une famille d'événements est un système complet d'événements ? | MetMat

Comment montrer qu'une famille d'événements est un système complet d'événements ?

En vérifiant que les $A_i$ sont deux à deux incompatibles ( $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\neq j$ ) et que $\bigcup A_i = \Omega$

Établir qu'une famille finie $(A_i)_{1\le i\le k}$ d'événements d'un univers fini $\Omega$ forme un système complet d'événements (SCE).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré à $6$ faces. On pose $P=\{2,4,6\}$ (résultat pair) et $I=\{1,3,5\}$ (résultat impair). Montrer que $(P,I)$ est un SCE.

L'objectif

Établir qu'une famille finie $(A_i)_{1\le i\le k}$ d'événements d'un univers fini $\Omega$ forme un système complet d'événements (SCE).

Le principe

Une famille finie $(A_i)_{1\le i\le k}$ d'événements de $\Omega$ est un système complet d'événements si et seulement si les $A_i$ sont deux à deux incompatibles ( $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\neq j$ ) et leur réunion recouvre $\Omega$ ( $\bigcup_{i=1}^{k} A_i=\Omega$ ) ; certains auteurs imposent de plus $A_i\neq\varnothing$ pour tout $i$ .

La méthode

1
Préciser l'univers fini $\Omega$ et lister les événements $A_1,\dots,A_k$ dont on veut vérifier qu'ils forment un SCE.
2
Je vérifie l'incompatibilité deux à deux : pour tous $i\neq j$ , je montre que $A_i\cap A_j=\varnothing$ (en caractérisant les événements par leurs résultats élémentaires).
3
Je vérifie le recouvrement $\bigcup_{i=1}^{k} A_i=\Omega$ (tout résultat de $\Omega$ appartient à au moins un $A_i$ ) et je conclus que $(A_i)$ est un SCE.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré à $6$ faces. On pose $P=\{2,4,6\}$ (résultat pair) et $I=\{1,3,5\}$ (résultat impair). Montrer que $(P,I)$ est un SCE.

Étape 1 —

Préciser l'univers fini

\Omega

et lister les événements

A_1,\dots,A_k

dont on veut vérifier qu'ils forment un SCE.

L'univers est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ fini, et les deux événements considérés sont $P$ et $I$ .

Étape 2 —

Je vérifie l'incompatibilité deux à deux : pour tous

i\neq j

, je montre que

A_i\cap A_j=\varnothing

(en caractérisant les événements par leurs résultats élémentaires).

On a $P\cap I=\varnothing$ car aucun entier n'est à la fois pair et impair : les deux événements sont incompatibles.

Étape 3 —

Je vérifie le recouvrement

\bigcup_{i=1}^{k} A_i=\Omega

(tout résultat de

\Omega

appartient à au moins un

A_i

) et je conclus que

(A_i)

est un SCE.

$P\cup I=\{1,2,3,4,5,6\}=\Omega$ : tout résultat est pair ou impair, donc $(P,I)$ est bien un SCE.

$(P,I)$ est un système complet d'événements de $\Omega$ .

Application guidée

Une urne contient $6$ boules numérotées de $1$ à $6$ . On pose $A=\{1,2,3\}$ , $B=\{4,5\}$ et $C=\{6\}$ . Montrer que $(A,B,C)$ est un SCE de $\Omega$ .

Application autonome 1

On tire $2$ cartes d'un jeu de $32$ . Pour $k\in\{0,1,2\}$ , soit $C_k$ l'événement "exactement $k$ cœurs tirés". Montrer que $(C_0,C_1,C_2)$ est un SCE.

Application autonome 2

On tire une carte d'un jeu de $52$ cartes. Soit $T$ = « la carte est un trèfle », $C$ = « la carte est un cœur », $D$ = « la carte est un carreau », $P$ = « la carte est un pique ». Montrer que $(T,C,D,P)$ est un SCE de $\Omega$ .

Application autonome 3

On lance deux dés équilibrés. Pour $k\in\{2,3,\dots,12\}$ , soit $S_k$ l'événement « la somme des deux dés vaut $k$ ». Montrer que $(S_2,S_3,\dots,S_{12})$ est un SCE.

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En vérifiant que les AiA_iAi​ sont deux à deux incompatibles (Ai∩Aj=∅A_i\cap A_j=\varnothingAi​∩Aj​=∅ pour i≠ji\neq ji=j) et que ⋃Ai=Ω\bigcup A_i = \Omega⋃Ai​=Ω

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que les $A_i$ sont deux à deux incompatibles ( $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\neq j$ ) et que $\bigcup A_i = \Omega$