Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

En décomposant $P(B)=\sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P_{A_i}(B)P(A_i)$ via un système complet d'événements $(A_i)$ adapté

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $B$ lorsque les probabilités conditionnelles de $B$ sachant une partition de l'univers sont connues.

Le principe

Si $(A_i)_{i\in I}$ est un système complet d'événements (famille finie d'événements deux à deux incompatibles de réunion $\Omega$ ) avec $P(A_i)>0$ pour tout $i$ , alors $P(B)=\sum_{i\in I} P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ .

La méthode

1
Je choisis un système complet d'événements $(A_i)$ adapté au problème (selon les causes, les urnes, les catégories…) et je vérifie que $P(A_i)>0$ pour chaque $i$ .
Comment montrer qu'une famille d'événements est un système complet d'événements ?Voir
2
Je détermine pour chaque $i$ les probabilités $P(A_i)$ et $P_{A_i}(B)$ à l'aide du contexte (souvent via un arbre de probabilités).
3
Je conclus par $P(B)=\displaystyle\sum_{i\in I} P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ : c'est la somme des produits le long des branches aboutissant à $B$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

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En décomposant P(B)=∑iP(B∩Ai)=∑iPAi(B)P(Ai)P(B)=\sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P_{A_i}(B)P(A_i)P(B)=∑i​P(B∩Ai​)=∑i​PAi​​(B)P(Ai​) via un système complet d'événements (Ai)(A_i)(Ai​) adapté

Exemple corrigé

En décomposant $P(B)=\sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P_{A_i}(B)P(A_i)$ via un système complet d'événements $(A_i)$ adapté