En vérifiant $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\prod P(A_{i_j})$ pour toute sous-famille, pour l'indépendance mutuelle

Établir que $n$ événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants en contrôlant le produit des probabilités sur toute sous-famille.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance une pièce équilibrée $3$ fois de manière indépendante. Soit $F_i$ : « face au $i$ -ième lancer » pour $i=1,2,3$ . Montrer que $(F_1,F_2,F_3)$ est mutuellement indépendante.

L'objectif

Établir que $n$ événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants en contrôlant le produit des probabilités sur toute sous-famille.

Le principe

Les événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants si et seulement si, pour toute sous-famille $\{i_1,\dots,i_k\}\subset\{1,\dots,n\}$ avec $k\ge 2$ , on a $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})$ ; l'indépendance deux à deux ne suffit pas en général.

La méthode

1
Recenser toutes les sous-familles de taille $\ge 2$ de $\{A_1,\dots,A_n\}$ (il y en a $2^n-n-1$ ) et calculer $P(A_i)$ pour chaque événement.
2
Pour chaque sous-famille $\{A_{i_1},\dots,A_{i_k}\}$ , je calcule $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})$ et je compare au produit $P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})$ .
3
Je conclus : si l'égalité est vraie pour toutes les sous-familles, la famille est mutuellement indépendante ; s'il existe une sous-famille qui échoue, elle ne l'est pas (même si l'indépendance deux à deux est vérifiée).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance une pièce équilibrée $3$ fois de manière indépendante. Soit $F_i$ : « face au $i$ -ième lancer » pour $i=1,2,3$ . Montrer que $(F_1,F_2,F_3)$ est mutuellement indépendante.

Étape 1 —

Recenser toutes les sous-familles de taille

\ge 2

\{A_1,\dots,A_n\}

(il y en a

2^n-n-1

) et calculer

P(A_i)

pour chaque événement.

Sur $\Omega=\{P,F\}^3$ équiprobable, $P(F_i)=\dfrac{1}{2}$ pour chaque $i$ . Les sous-familles de taille $\ge 2$ sont $\{F_1,F_2\},\{F_1,F_3\},\{F_2,F_3\},\{F_1,F_2,F_3\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque sous-famille

\{A_{i_1},\dots,A_{i_k}\}

, je calcule

P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})

et je compare au produit

P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})

$P(F_1\cap F_2)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}=P(F_1)P(F_2)$ ; de même pour les autres couples ; $P(F_1\cap F_2\cap F_3)=\dfrac{1}{8}=P(F_1)P(F_2)P(F_3)$ .

Étape 3 —

Je conclus : si l'égalité est vraie pour toutes les sous-familles, la famille est mutuellement indépendante ; s'il existe une sous-famille qui échoue, elle ne l'est pas (même si l'indépendance deux à deux est vérifiée).

Toutes les égalités étant vérifiées, $(F_1,F_2,F_3)$ est mutuellement indépendante.

$(F_1,F_2,F_3)$ est mutuellement indépendante.

Application guidée

On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ : « premier dé pair », $B$ : « second dé pair », $C$ : « somme paire ». Montrer que ces événements sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement indépendants.

Application autonome 1

On lance une pièce équilibrée $3$ fois. Soit $A$ : « au moins une face aux lancers $1$ et $2$ », $B$ : « face au lancer $3$ ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Application autonome 2

On lance un dé équilibré à $6$ faces $4$ fois de suite, les lancers étant indépendants. Pour $i\in\{1,2,3,4\}$ , soit $S_i$ = « le $i$ -ème lancer donne un $6$ ». Montrer que $(S_1,S_2,S_3,S_4)$ est mutuellement indépendante.

Application autonome 3

On lance une pièce équilibrée $4$ fois de suite indépendamment. Soit $F_i$ : « face au $i$ -ième lancer » pour $i=1,2,3,4$ . Montrer que $(F_1,F_2,F_3,F_4)$ est mutuellement indépendante.

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En vérifiant P(Ai1∩⋯∩Aik)=∏P(Aij)P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\prod P(A_{i_j})P(Ai1​​∩⋯∩Aik​​)=∏P(Aij​​) pour toute sous-famille, pour l'indépendance mutuelle

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\prod P(A_{i_j})$ pour toute sous-famille, pour l'indépendance mutuelle