Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ? | MetMat

Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?

En enchaînant la formule des probabilités composées : $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$

Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en enchaînant des probabilités conditionnelles le long d'un scénario chronologique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une urne contient $4$ boules rouges et $3$ boules blanches. On tire $3$ boules successivement sans remise. Calculer la probabilité de tirer $3$ rouges.

L'objectif

Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en enchaînant des probabilités conditionnelles le long d'un scénario chronologique.

Le principe

Si $P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})>0$ , alors $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)\,P_{A_1}(A_2)\,P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$ .

La méthode

1
Je modélise la situation par un arbre chronologique et j'identifie les événements $A_1,\dots,A_n$ dont je veux l'intersection, en vérifiant que les probabilités conditionnelles sont bien définies (probabilités cumulées strictement positives).
2
Je calcule successivement $P(A_1)$ , puis $P_{A_1}(A_2)$ , puis $P_{A_1\cap A_2}(A_3)$ , etc., en utilisant le contexte (tirages sans remise, effectifs mis à jour…).
3
Je conclus en multipliant les probabilités obtenues pour obtenir $P(A_1\cap\dots\cap A_n)$ : c'est le produit des probabilités le long d'une branche de l'arbre.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Une urne contient $4$ boules rouges et $3$ boules blanches. On tire $3$ boules successivement sans remise. Calculer la probabilité de tirer $3$ rouges.

Étape 1 —

Je modélise la situation par un arbre chronologique et j'identifie les événements

A_1,\dots,A_n

dont je veux l'intersection, en vérifiant que les probabilités conditionnelles sont bien définies (probabilités cumulées strictement positives).

Je note $R_i$ : « la $i$ -ième boule est rouge » pour $i=1,2,3$ et je cherche $P(R_1\cap R_2\cap R_3)$ . Les probabilités conditionnelles sont bien définies car au moins une rouge reste disponible à chaque étape.

Étape 2 —

Je calcule successivement

P(A_1)

, puis

P_{A_1}(A_2)

, puis

P_{A_1\cap A_2}(A_3)

, etc., en utilisant le contexte (tirages sans remise, effectifs mis à jour…).

$P(R_1)=\dfrac{4}{7}$ ; sachant $R_1$ , il reste $3$ rouges sur $6$ : $P_{R_1}(R_2)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ ; sachant $R_1\cap R_2$ , il reste $2$ rouges sur $5$ : $P_{R_1\cap R_2}(R_3)=\dfrac{2}{5}$ .

Étape 3 —

Je conclus en multipliant les probabilités obtenues pour obtenir

P(A_1\cap\dots\cap A_n)

: c'est le produit des probabilités le long d'une branche de l'arbre.

Par la formule des probabilités composées : $P(R_1\cap R_2\cap R_3)=\dfrac{4}{7}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{70}=\dfrac{4}{35}$ .

$P(R_1\cap R_2\cap R_3)=\dfrac{4}{35}$ .

Application guidée

On tire une carte, on ne la remet pas, on en tire une seconde. Probabilité de tirer un as au premier tirage et un roi au second (jeu de $32$ cartes) ?

Application autonome 1

Une urne contient $5$ boules numérotées de $1$ à $5$ . On tire $3$ boules sans remise. Probabilité d'obtenir dans l'ordre $1$ puis $2$ puis $3$ ?

Application autonome 2

Un sac contient $10$ jetons dont $3$ gagnants. On tire un jeton, on ne le remet pas, puis on en tire un second. Probabilité que les deux soient perdants ?

Application autonome 3

Dans un paquet bien mélangé de $52$ cartes, on tire successivement $4$ cartes sans remise. Calculer la probabilité d'obtenir $4$ cœurs.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En enchaînant la formule des probabilités composées : P(A1∩⋯∩An)=P(A1)PA1(A2)⋯PA1∩⋯∩An−1(An)P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)P(A1​∩⋯∩An​)=P(A1​)PA1​​(A2​)⋯PA1​∩⋯∩An−1​​(An​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En enchaînant la formule des probabilités composées : $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$