Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?

En enchaînant la formule des probabilités composées : $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$

L'objectif

Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en enchaînant des probabilités conditionnelles le long d'un scénario chronologique.

Le principe

Si $P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})>0$ , alors $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)\,P_{A_1}(A_2)\,P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$ .

La méthode

1
Je modélise la situation par un arbre chronologique et j'identifie les événements $A_1,\dots,A_n$ dont je veux l'intersection, en vérifiant que les probabilités conditionnelles sont bien définies (probabilités cumulées strictement positives).
2
Je calcule successivement $P(A_1)$ , puis $P_{A_1}(A_2)$ , puis $P_{A_1\cap A_2}(A_3)$ , etc., en utilisant le contexte (tirages sans remise, effectifs mis à jour…).
3
Je conclus en multipliant les probabilités obtenues pour obtenir $P(A_1\cap\dots\cap A_n)$ : c'est le produit des probabilités le long d'une branche de l'arbre.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En enchaînant la formule des probabilités composées : P(A1∩⋯∩An)=P(A1)PA1(A2)⋯PA1∩⋯∩An−1(An)P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)P(A1​∩⋯∩An​)=P(A1​)PA1​​(A2​)⋯PA1​∩⋯∩An−1​​(An​)

Exemple corrigé

En enchaînant la formule des probabilités composées : $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$