En renversant le conditionnement par $P_B(A_i) = \frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$ , avec $P(B)$ obtenu par probabilités totales

Calculer la probabilité qu'une cause $A_i$ ait eu lieu sachant l'observation d'un effet $B$ , à partir des probabilités des causes et des probabilités conditionnelles de l'effet.

L'objectif

Calculer la probabilité qu'une cause $A_i$ ait eu lieu sachant l'observation d'un effet $B$ , à partir des probabilités des causes et des probabilités conditionnelles de l'effet.

Le principe

Si $(A_i)$ est un système complet d'événements avec $P(A_i)>0$ pour tout $i$ et $P(B)>0$ , alors $P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)\,P(A_i)}{P(B)}$ , où le dénominateur se calcule par la formule des probabilités totales.

La méthode

1
J'identifie le système complet $(A_i)$ et l'événement observé $B$ , et je vérifie que $P(A_i)>0$ pour chaque $i$ ainsi que $P(B)>0$ .
2
Je calcule le dénominateur $P(B)=\displaystyle\sum_{j} P_{A_j}(B)\,P(A_j)$ par la formule des probabilités totales.
Comment utiliser la formule des probabilités totales ?Voir
3
Je conclus par $P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)\,P(A_i)}{P(B)}$ et j'interprète ce résultat comme la probabilité a posteriori de la cause $A_i$ au vu de l'observation $B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Reprise du test médical : $P(M)=0{,}01$ , $P_M(T)=0{,}95$ , $P_{\overline{M}}(T)=0{,}02$ . Un individu a un test positif : quelle est la probabilité qu'il soit effectivement malade ?

Étape 1 —

J'identifie le système complet

(A_i)

et l'événement observé

B

, et je vérifie que

P(A_i)>0

pour chaque

i

ainsi que

P(B)>0

Le système complet est $(M,\overline{M})$ avec $P(M)=0{,}01>0$ et $P(\overline{M})=0{,}99>0$ ; l'événement observé est $T$ : « test positif ».

Étape 2 —

Je calcule le dénominateur

P(B)=\displaystyle\sum_{j} P_{A_j}(B)\,P(A_j)

par la formule des probabilités totales.

Par la formule des probabilités totales : $P(T)=P_M(T)P(M)+P_{\overline{M}}(T)P(\overline{M})=0{,}95\times 0{,}01+0{,}02\times 0{,}99=0{,}0293$ .

Étape 3 —

Je conclus par

P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)\,P(A_i)}{P(B)}

et j'interprète ce résultat comme la probabilité a posteriori de la cause

A_i

au vu de l'observation

B

Par Bayes : $P_T(M)=\dfrac{P_M(T)P(M)}{P(T)}=\dfrac{0{,}95\times 0{,}01}{0{,}0293}=\dfrac{0{,}0095}{0{,}0293}\approx 0{,}324$ .

$P_T(M)\approx 0{,}324$ , soit environ $32{,}4\,\%$ : un test positif ne signifie pas malade à coup sûr quand la maladie est rare.

Application guidée

Reprise des deux urnes : $U_1$ contient $2R, 3B$ et $U_2$ contient $4R, 1B$ , choisies équiprobablement. Une boule rouge a été tirée : probabilité qu'elle vienne de $U_2$ ?

Application autonome 1

Usine avec ateliers $A,B,C$ de proportions $0{,}5$ ; $0{,}3$ ; $0{,}2$ et taux de défauts $0{,}02$ ; $0{,}03$ ; $0{,}05$ . Une pièce défectueuse est observée : probabilité qu'elle vienne de $C$ ?

Application autonome 2

Dans une population, $2\,\%$ des individus ont une allergie. Un test dépiste correctement $90\,\%$ des allergiques et affiche un faux positif avec probabilité $0{,}08$ . Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que l'individu soit allergique ?

Application autonome 3

Trois machines $M_1, M_2, M_3$ produisent respectivement $40\,\%$ , $35\,\%$ et $25\,\%$ des pièces d'une usine, avec des taux de défaut de $0{,}03$ , $0{,}02$ et $0{,}05$ . On prélève une pièce défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de $M_3$ ?

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En renversant le conditionnement par PB(Ai)=PAi(B)P(Ai)P(B)P_B(A_i) = \frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}PB​(Ai​)=P(B)PAi​​(B)P(Ai​)​, avec P(B)P(B)P(B) obtenu par probabilités totales

Pour comprendre, fais des exercices !

En renversant le conditionnement par $P_B(A_i) = \frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$ , avec $P(B)$ obtenu par probabilités totales